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| Aufgabe | a) Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)
[/mm]
b) Zeigen Sie: Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie die Summenformel: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{(n+1)n}{2} [/mm] |
I.A. n=1 passt!
I.N. n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)
[/mm]
I.S.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1} k^2
[/mm]
also im Klartext:
[mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] + [mm] (n+1)^2 \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}
[/mm]
weil wenn ich jetzt anfange hier rumzurechnen , schafe ich es nicht den schritt zu beweisen! nun meine frage: hab ich schon im ansatz was vergessen oder einen fehler gemacht?
danke schon mal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zappzarapp und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a) Beweisen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm]
>
> b) Zeigen Sie: Für n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^2[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen Sie die Summenformel: [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k
> = [mm]\bruch{(n+1)n}{2}[/mm]
> I.A. n=1 passt!
>
> I.N. n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm]
>
> I.S.
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1} k^2[/mm]
>
> also im Klartext:
> [mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm] + [mm](n+1)^2 \gdw[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}[/mm]
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> weil wenn ich jetzt anfange hier rumzurechnen , schafe ich
> es nicht den schritt zu beweisen! nun meine frage: hab ich
> schon im ansatz was vergessen oder einen fehler gemacht?
Alles ok bisher, obwohl ich das prinzipiell nicht mit Äquivalenzumformungewn rechnen würde, sondern mir die linke Seite der Induktionsbeh. [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2[/mm] hernehmen würde und diese umformen würde, bis die rechte Seite, also [mm]\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] dasteht
Wie dem auch sei, klammere nun auf deiner rechten Seite im Zähler [mm]n+1[/mm] aus, rechne alles zusammen und du wirst sehen, dass du den Rest genau zu [mm](n+2)(2n+3)[/mm] faktorisieren kannst ...
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> danke schon mal im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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oh man :D jetzt seh ichs auch! muss wohl einfach sauberer in meiner handschrift werden! keine ahnung warum ich die letzten 3 stunden nicht rausgekommen bin! war heute wohl schon zuviel den tag über :D danke nochmal
aber jetzt zu der 2ten aufgabe:
einfach die angegebene summenformel beweisen?! und daraus schlussfolgern?
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Nee, die Summenformel darfst du benutzen.
Also du musst (mit vollständiger Induktion) zeigen, dass
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] $ = $ [mm] \left(\bruch{(n+1)n}{2}\right)^2$
[/mm]
rechte Seite auflösen und dann ganz normale Induktion.
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[mm] (\summe_{k=1}^{n}k)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{(n+1)n}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
I.A. n=1 passt
I.N. n=n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
[/mm]
I.S.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}k)^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}k^3
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm]
stimmt des soweit??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 04.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm](\summe_{k=1}^{n}k)^2[/mm] = [mm](\bruch{(n+1)n}{2})^2[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
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> I.A. n=1 passt
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> I.N. n=n+1
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
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> I.S.
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{n}k)^2[/mm] +
> [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3[/mm]
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> [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
>
>
> stimmt des soweit??
Leider Nein.
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm]
[mm]=\red{\summe_{k=1}^{n}k^{3}}+\blue{\summe_{k=n+1}^{n+1}k^{3}}[/mm]
[mm]=\red{\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^{2}}+\blue{(n+1)^{3}}[/mm]
Rot: Ind-Voraussetzung, Blau: "einfaches hinschreiben" der Summe
Jetzt kannst du vorne die Summenformel anwenden, also:
[mm]=\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
[mm]=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}[/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
[mm]=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
Fülle die Punkte nun "mit Leben"
Marius
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