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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mo 18.10.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass für jede natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 1 die folgende Aussage gelten:
[mm] 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+....+n)^2 [/mm] |
Hallo,
also bin wie folgt rangegangen:
I-Anfang: A(0) = [mm] \summe_{i=1}^{0} i^3 =0=(\summe_{i=1}^{0}i)^2 =0^2= [/mm] 0
Also der Induktionsanfang gilt (war mir nicht sicher wegen dem [mm] n\ge [/mm] 1 ob ich nicht mit 1 anfangen soll?)
I-Vorraussetzung: [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3=(1+2+3+...+n)^2
[/mm]
A(n+1) = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}=( 1+2+3+...+n+(n+1))^2
[/mm]
A(n+1) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^3= \summe_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3
[/mm]
Also sollte gelten:
[mm] (1+2+....+n)^2+(n+1)^3=(1+2+....+n+(n+1))^2
[/mm]
Mein Taschenrechner spukt mir aus, dass die Endgleichung daunten richtig ist, aber ich weiss nicht wie ich das umforme, sodass es auch gleich aussieht. Kann mir da einer helfen? Danke IM VORAUS!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mo 18.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass für jede
> natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 1 die folgende Aussage gelten:
> [mm]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+....+n)^2[/mm]
Dazu hatten wir die Tage schonmal eine Frage.
> Mein Taschenrechner spukt mir aus,
Vielleicht solltest du die ![[]](/images/popup.gif) Ghostbusters rufen!
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass für jede
> natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 1 die folgende Aussage gelten:
> [mm]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+....+n)^2[/mm]
> Hallo,
>
> also bin wie folgt rangegangen:
>
> I-Anfang: A(0) = [mm]\summe_{i=1}^{0} i^3 =0=(\summe_{i=1}^{0}i)^2 =0^2=[/mm]
> 0
Was ist A ?
Wenn es eine Aussage ist, schreibe besser A(0) : ...
> Also der Induktionsanfang gilt (war mir nicht sicher wegen
> dem [mm]n\ge[/mm] 1 ob ich nicht mit 1 anfangen soll?)
Ja, mit n = 1 beginnen!
>
> I-Vorraussetzung: [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3=(1+2+3+...+n)^2[/mm]
>
> A(n+1) = [mm]\summe_{i=1}^{n+1}=( 1+2+3+...+n+(n+1))^2[/mm]
Siehe oben, das ist ein Term aber keine Aussage.
>
> A(n+1) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n)
>
Umgekehrt !
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^3= \summe_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3[/mm]
>
> Also sollte gelten:
>
> [mm](1+2+....+n)^2+(n+1)^3=(1+2+....+n+(n+1))^2[/mm]
>
>
> Mein Taschenrechner spukt mir aus, dass die Endgleichung
> daunten richtig ist, aber ich weiss nicht wie ich das
> umforme, sodass es auch gleich aussieht. Kann mir da einer
> helfen? Danke IM VORAUS!
Du wirst zum Nachweis dieser Gleichung die Summenformel
[mm]\summe_{i=1}^{n}i = \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
benötigen. Vielleicht hattet ihr sie schon, sonst musst du sie extra beweisen.
Gruß Sax.
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