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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 26.08.2010 | | Autor: | manolya |
| Aufgabe | | Wie kann ich dies rechnerisch und geometrisch beweisen? |
Hallo alle zusammen,
neulich haben wir im Matheunterricht mit einem Thema angefangen, das für uns sehr unklar erscheint.
Also wir haben einfach ein Arbeitsblatt bekommen und die Behauptung = [mm] Qn=1/3*n^3+1/2*n*^2+1/6 [/mm] verstehen.
Sei Qn richtig, dann wäre [mm] Qn+1=Qn+(n+1)^2 [/mm] zu zeigen.
Nur habe ich das jetzt einigermaßen verstanden mal verstanden.
Nun sollen wir mit der Gauß - Formel: Sn=1+2+3...+n=n/2*(n+1)
Sn=1
Sn+1=Sn+(n+1)
(n+1):2 *((n+1)+1)=n/2*(n+1)+n+1 <---- dies beweisen.
Ich möchte ja nicht das mir die Lsung gesgat wird, nur eine Hilfe wäre echt nicht schlecht,. Ich will ja im Endeffekt selber nachdenken .
Ich hoffe meine Fragestellung war einigermaßen verständlich. Falls nicht, dann kann ich nochmal versuchen es zu erklären.
LIEBE GRÜßE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 26.08.2010 | | Autor: | manolya |
Oh danke!
Diese Seite ist echt gut!
Nur habe ich eine Frage: Sn=1+2+3...+n und nach "n " kommt (n+1) und heißt das das die Schritte immer (n+1)tel weiterfolgen oder (n+2)..(n+3)?
So wäre es doch auch logisch,oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 26.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Oh danke!
> Diese Seite ist echt gut!
Yep. Die ist echt klasse.
>
> Nur habe ich eine Frage: Sn=1+2+3...+n und nach "n "
> kommt (n+1) und heißt das das die Schritte immer (n+1)tel
> weiterfolgen oder (n+2)..(n+3)?
> So wäre es doch auch logisch,oder?
Yep. Aber [mm] S(\red{n})=1+2+\ldots+(n-2)+(n-1)+\red{n}=\summe_{i=1}^{\red{n}}i
[/mm]
Wenn du n+1, n+2 sowie n+3 dazuaddierst, wärest du bei S(n+3)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 26.08.2010 | | Autor: | manolya |
Achsoo also nicht dass der Schritt immer n+1 tel weiterläuft?
Aber was ich nicht verstehe ist dies:
n
S
i=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n+1)
2
Die Formel gilt auch für ungerade n. Die mittlere Zahl hat keinen Partner bei der Paarbildung. Man bildet also (n-1)/2 Paare mit der jeweiligen Summe (n+1), addiert die mittlere Zahl (n+1)/2 und kommt so ebenfalls auf diese Summenformel:
Warum wird es zu n-1/2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achsoo also nicht dass der Schritt immer n+1 tel
> weiterläuft?
>
> Aber was ich nicht verstehe ist dies:
> n
> S
> i=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n+1)
> 2
>
> Die Formel gilt auch für ungerade n. Die mittlere Zahl hat
> keinen Partner bei der Paarbildung. Man bildet also (n-1)/2
> Paare mit der jeweiligen Summe (n+1), addiert die mittlere
> Zahl (n+1)/2 und kommt so ebenfalls auf diese Summenformel:
>
>
> Warum wird es zu n-1/2 ?
mach' es, wie ich es in der anderen Antwort geschrieben habe. Genaueres steht formal dort. Hier mal beispielsweise:
$$S(5)=1+2+3+4+5$$
$$S(5)=5+4+3+2+1$$
_______________________
$$2S(5)=6+6+6+6+6=5*6$$
$$S(8)=1+2+3+4+5+6+7+8$$
$$S(5)=8+7+6+5+4+3+2+1$$
_____________________________
$$2S(5)=9+9+9+9+9+9+9+9=8*9$$
Man kann das auch schematisch so schreiben, wenn man quasi nur "mit einer Summenzeile" rechnet:
$S(5)=1+2+3$
[mm] $$\;\;\;+5+4$$
[/mm]
$$=(1+5)+(2+4)+(6/2)$$
bzw.
$S(8)=1+2+3+4$
[mm] $$\;\;\;+8+7+6+5$$
[/mm]
$$=9+9+9+9=(8/2)*9$$
Allgemein:
Ist [mm] $n\,$ [/mm] gerade, so berechne $S(n)=1+2+...+n$ mittels des Schemas
[mm] $$\begin{matrix}1,&2,&3,&4,&...&n/2\\n,&n-1,&n-2,&n-3,&...&(n/2)+1\end{matrix}$$
[/mm]
indem Du zuerst übereinanderstehende Zahlen addierst und danach diese Summen von links nach rechts aufaddierst. Dann erhältst Du [mm] $n\,$ [/mm] Mal die "Spaltensumme" (d.h. die Summe zweier übereinanderstehender Zahlen) [mm] $(n+1)\,.$
[/mm]
Ist [mm] $n\,$ [/mm] ungerade, so schreibst Du das Schema in der Form
[mm] $$\begin{matrix}1,&2,&3,&4,&...&(n-1)/2&(n+1)/2\\n,&n-1,&n-2,&n-3,&...&(n+3)/2&0\end{matrix}$$
[/mm]
und addiere auch hier erst die übereinanderstehenden Zahlen, und danach die Ergebnisse von links nach rechts. Hier kommt dann raus:
[mm] $$=(n-1)*(n+1)+(n+1)/2\,,$$
[/mm]
was Du aber auch zu $n*(n+1)/2$ umschreiben kannst [mm] ($(n+1)\,$ [/mm] vorklammern!).
P.S.:
In dem Schema mit den ungeraden Zahlen hätte ich oben in dem Beispiel dann genauer
$S(5)=1+2+3$
[mm] $$\;\;\;+5+4+0$$
[/mm]
[mm] $$=\underbrace{(1+5)+(2+4)}_{=\underbrace{(5-1)/2}_{=2}\,*(5+1)}+\underbrace{3}_{=(5+1)/2}$$
[/mm]
geschrieben.
Also nochmal:
Bei ungeradem [mm] $n\,$ [/mm] kann man sagen, dass der mittlere Summand $(n+1)/2$ keinen Partner oder nur [mm] $0\,$ [/mm] als Partner hat, das heißt, die Summe des mittleren Summanden mit dem Partner [mm] $0\,$ [/mm] ergibt "nur" $(n+1)/2$ und nicht [mm] $n+1\,.$ [/mm] Schematisch erhält man daher aber dann
[mm] $$S(n)=(n-1)*(n+1)+(n+1)/2\,,$$
[/mm]
und das ist das gleiche wie [mm] $n*(n+1)/2\,.$ [/mm] Also kann man die Formel auch für ungerade [mm] $n\,$ [/mm] benutzen.
Wenn man diesen "EinzelzeilenSummenbeweis" also benutzt, hat man eigentlich formal wirklich die beiden Fälle
$$n [mm] \text{ gerade oder }n \text{ ungerade}$$
[/mm]
zu unterscheiden.
Machst Du das nach Schema
[mm] $$S(n)=1+\;\;\;2+...+(n-1)+n$$
[/mm]
[mm] $$S(n)=n+(n-1)+...+2+1\,,$$
[/mm]
woraus man dann $2S(n)=n*(n+1)$ erhält, so ist diese Fallunterscheidung unnötig.
P.S.:
Formal, wenn man mit dem Summenzeichen rechnen kann, geht es übrigens sehr einfach so:
[mm] $$2S(n)=S(n)+S(n)=\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)=\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)=\sum_{k=1}^n(k+n+1-k)=\sum_{k=1}^n(n+1)=n*(n+1)\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 26.08.2010 | | Autor: | manolya |
ahh ich glaube ich habe es!
also n+1 bedeutet jaa das immer ein stein weiter fällt(zurückgreifend auf dieses Beispiel mit den Dominosteinen) ooooder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ahh ich glaube ich habe es!
> also n+1 bedeutet jaa das immer ein stein weiter
> fällt(zurückgreifend auf dieses Beispiel mit den
> Dominosteinen) ooooder?
bzgl. eines Induktionsbeweises: Ja!
Das läuft hier dann so ab:
Behauptet wird, dass für jedes natürliche [mm] $n\,,$ [/mm] wenn man $S(n)=1+2+...+n$ setzt, dann [mm] $S(n)=n*(n+1)/2\;$ [/mm] ist.
Erst prüft man das für das erste (im Sinne von "kleinstes der betrachteten") [mm] $n\,,$ [/mm] hier wäre das [mm] $n=1\,.$ [/mm] Wenn es dann schon schiefgeht, muss man die Behauptung umformulieren (vielleicht gilt die Formel aber schon für alle [mm] $n\,,$ [/mm] wenn sie nur genügend groß sind), bzw. den Fehler zu korrigieren versuchen, jedenfalls gilt die Behauptung dann in dieser Form nicht. Wenn der Test aber klappt, ist der Induktionsstart schonmal gelungen!
Nun will man die Formel zeigen, wenn man anstatt [mm] $n\,$ [/mm] nun $n+1$ schreibt. Das heißt oben:
Man nimmt an, dass $S(n)=1+2+...+n=n*(n+1)/2$ für ein natürliches [mm] $n\,$ [/mm] gilt (Variante: für alle betrachteten $k [mm] \le [/mm] n$). Dann will man (oben!) folgern, dass
$$S(n+1)=(n+1)*((n+1)+1)/2$$
ist, wenn man $S(n+1)=1+2+...+n+(n+1)$ hat. Das geht oben z.B. so, dass man
$$S(n+1)=1+2+...+n+(n+1)=S(n)+(n+1)$$
schreibt, und dann die vorausgesetzte Formel $S(n)=n*(n+1)/2$ dort einsetzt und ein wenig rechnet, hier: $(n+1)$ vorklammert.
Nun gibt es auch eine Herleitung dieser Formel, ohne Induktion:
Dazu schreibt man
[mm] $$(I)\;\;\;S(n)=\begin{matrix}{\blue{1}&\red{+2}&\blue{+3}&\red{+4}&\blue{+...}&\red{+...}&\blue{+(n-1)}&\red{+n}}\end{matrix}$$
[/mm]
und
[mm] $$(II)\;\;\;S(n)=\begin{matrix}\blue{n}&\red{+(n-1)}&\blue{+(n-2)}&\red{+(n-3)}&\blue{+...}&\red{+...}&\blue{+2}&\red{+1}\end{matrix}\,,$$
[/mm]
Es ist dabei nicht wichtig, dass [mm] $\red{+n}$ [/mm] bei [mm] $(I)\,$ [/mm] mit roter Farbe aufhört, für ungerades würde es mit blauer enden. Wichtig ist, dass man bei [mm] $(II)\,$ [/mm] den ersten Summanden mit der gleichen Farbe markiert, die der erste Summand bei [mm] $(I)\,$ [/mm] hat. Jedenfalls für den Überblick hier.
Denn dann siehst Du:
Wenn ich die linken Seiten von $(I)$ und $(II)$ addiere, so steht da [mm] $S(n)+S(n)=2*S(n)\,.$
[/mm]
Die rechten Seiten solltest Du dann so lesen, dass Du [mm] $n\,$ [/mm] Spalten hast, wobei Du die übereinanderstehenden Zahlen je Spalte addierst und am Ende über alle Spalten addiert. Das ist dann das gleiche, wie wenn man [mm] $1+2+3+4+...+n+n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+2+1\,,$ [/mm] also $S(n)+S(n)=2S(n)$ berechnet.
Nun:
Dort stehen dann [mm] $n\,$ [/mm] Spalten (eine Spalte ist gegeben durch zwei gleichfarbige übereinanderstehende Zahlen, wobei mir das mit dem Editor hier nicht gelungen ist, die genau übereinanderzuschreiben), und jetzt schauen wir uns an, was die jeweilige Summe pro Spalte ist (die erste Spalte ist die linkeste):
1. [mm] Spalte:$\blue{1+n}=n+1$
[/mm]
2. Spalte: [mm] $\red{2+(n-1)}=n+1$
[/mm]
3. Spalte: [mm] $\blue{3+(n-2)}=n+1$
[/mm]
4. Spalte: [mm] $\red{4+(n-3)}=n+1$
[/mm]
.
.
.
[mm] $n\,.$ [/mm] Spalte: [mm] $\red{n+1}=n+1$
[/mm]
Also folgt:
$2S(n)=$Summe über die obigen Spaltensummen, also [mm] $\underbrace{(n+1)+...+(n+1)}_{\text{Summand }(n+1) \text{ kommt }n-\text{mal vor}}=n*(n+1)\,.$
[/mm]
Das ist auch schon alles, denn nach Division durch [mm] $2\,$ [/mm] folgt
[mm] $$S(n)=n*(n+1)/2\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 26.08.2010 | | Autor: | manolya |
soo nun habe ich das rechnersiche Verfahren verstanden danke sehr.
Nur kann ich dies auch geometrisch beweisen/zeigen?
LIEBE GRÜßE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 26.08.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
>
> Nur kann ich dies auch geometrisch beweisen/zeigen?
>
> LIEBE GRÜßE
Was verstehst Du unter einem geometrischen Beweis?
Du kannst allerdings die Zahlen durch Punkte veranschaulichen und dann praktisch die Dreiecksflächenformel benutzen. Achte darauf, dass es sich um diskrete Zahlen handelt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Do 26.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend!
>
> >
> > Nur kann ich dies auch geometrisch beweisen/zeigen?
> >
> > LIEBE GRÜßE
>
> Was verstehst Du unter einem geometrischen Beweis?
>
> Du kannst allerdings die Zahlen durch Punkte
> veranschaulichen und dann praktisch die
> Dreiecksflächenformel benutzen. Achte darauf, dass es sich
> um diskrete Zahlen handelt.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
genau das ist ein geometrischer Beweis (bzw. zu einem geometrischen ausbaufähig):
Man bilde ein Rechteck, indem man $(n+1)$ Einheitsquadrate nebeneinander und zu jedem dieser [mm] $n\,$ [/mm] übereinander legt. Nun macht man eine Flächenzerlegung in der von Dir gewählten Form, und sieht, wenn man oben links anfängt:
Diese Fläche besteht aus $1+2+...+n$ Einheitsquadraten, und ist kongruent zu der Restfläche, die demnach auch aus $1+2+...+n$ Einheitsquadraten besteht. Ingesamt besteht das Rechteck aber aus $n*(n+1)$ Einheitsquadraten per Konstruktion, woraus schon alles folgt. Dies gilt so jedenfalls, wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist. Ist [mm] $n\,$ [/mm] ungerade, so dreht man das Rechteckt halt um 90° bzw. überlegt sich analoges.
Besten Gruß,
Marcel
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