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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 11.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | | Seien n,k natürliche Zahlen mit [mm] n\ge [/mm] k. Man Beweise [mm] \vektor{n+1\\ k+1}=\summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k} [/mm] |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht.
Ich habe nun:
IA: n=k
[mm] \vektor{k+1\\ k+1}=1=\vektor{k\\ k}
[/mm]
IV: [mm] \vektor{n+1\\ k+1}=\summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] k
IS: [mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m\\ k}= \summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n+2\\ k+1}
[/mm]
und ab hier komme ich nicht weiter. Was soll denn überhaupt zum Schluss rauskommen?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 11.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien n,k natürliche Zahlen mit [mm]n\ge[/mm] k. Man Beweise
> [mm]\vektor{n+1\\ k+1}=\summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht.
> Ich habe nun:
>
> IA: n=k
> [mm]\vektor{k+1\\ k+1}=1=\vektor{k\\ k}[/mm]
>
> IV: [mm]\vektor{n+1\\ k+1}=\summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k}[/mm] für
> [mm]n\ge[/mm] k
................ für ein n [mm] \ge [/mm] k ...........
>
> IS: [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m\\ k}= \summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k}[/mm]
> + [mm]\vektor{n+2\\ k+1}[/mm]
Das ist nicht richtig. Richtig:
[mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m\\ k}= \summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n+1\\ k}[/mm]
Benutze jetzt die Ind.-Vor.
>
> und ab hier komme ich nicht weiter. Was soll denn
> überhaupt zum Schluss rauskommen?
[mm]\vektor{n+2\\ k+1}[/mm]
FRED
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 11.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich versteh das nicht, kann man hier einfach m weglassen und n+1 schreiben?
[mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m\\ k}= \summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k} +\vektor{n+1\\ k}
[/mm]
weiter geht es dann: [mm] =(IV)\vektor{n+1\\ k+1}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 11.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> ich versteh das nicht, kann man hier einfach m weglassen
> und n+1 schreiben?
??? Wer tut das?
> [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m\\ k}= \summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k} +\vektor{n+1\\ k}[/mm]
Auf beiden Seiten steht die gleiche Summe: Erst kommen die Summanden von $m=k$ bis $m=n$ und schließlich der Summand für $m=n+1$.
> weiter geht es dann: [mm]=(IV)\vektor{n+1\\ k+1}?[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt [mm] $\summe_{m=k}^{n}\vektor{m\\ k}=\vektor{n+1\\ k+1}$. [/mm] Also erhalten wir [mm] $\vektor{n+1\\ k+1}+\vektor{n+1\\k}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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