Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen a>1 und für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt:
[mm] a^n-1 [/mm]
ist durch a-1 teilbar. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo,
ich bin mir nicht sicher wie ich mit diesem Beispiel umgehen soll.
Ich habe einmal eine Gleichung aufgestellt:
[mm] a^{n}-1=k(a-1)
[/mm]
wobei k [mm] \in\IN [/mm]
danach habe ich mit mit dem ersten Schritt begonnen und 1 eingesetzt:
[mm] a^1-1=k(a-1)=a-1/a-1
[/mm]
der nächste Schritt mit n+1 bereitet mir dann Kopfzerbrechen:
[mm] a^{n+1}-1=a a^{n}-1=a(k(a-1))=a^2k-ak
[/mm]
Ich kenne mich ab diesem Punkt gar nicht mehr aus und glaube, dass irgendwo ein Fehler liegt, ich kann ihn aber nicht finden!
Lg,
frani
|
|
| |
|
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen a>1 und für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]a^n-1[/mm]
>
> ist durch a-1 teilbar.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Hallo,
> ich bin mir nicht sicher wie ich mit diesem Beispiel
> umgehen soll.
> Ich habe einmal eine Gleichung aufgestellt:
>
> [mm]a^{n}-1=k(a-1)[/mm]
>
> wobei k [mm]\in\IN[/mm]
>
> danach habe ich mit mit dem ersten Schritt begonnen und 1
> eingesetzt:
>
> [mm]a^1-1=k(a-1)=a-1/a-1[/mm]
>
> der nächste Schritt mit n+1 bereitet mir dann
> Kopfzerbrechen:
>
> [mm]a^{n+1}-1=a a^{n}-1=a(k(a-1))=a^2k-ak[/mm]
>
Natürlich ist darin ein Fehler: a [mm] a^{n}-1=a(k(a-1)) [/mm] - da hat wohl jemand Punkt vor Strich nicht beachtet: Das a links wird nur mit [mm] a^{n} [/mm] multipliziert, nicht jedoch mit -1 ,dies hast du beim anwenden der Induktionsvoraussetzung aber missachtet.
Versuch es doch mal folgendermaßen: [mm] a^{n}-1=k(a-1) [/mm] - diese Gleichung ist äquivalent zu [mm] a^{n}= [/mm] k(a-1) +1. Dies kannst du bei [mm] a*a^n [/mm] -1 verwenden und solltest somit zum Ziel kommen.
> Ich kenne mich ab diesem Punkt gar nicht mehr aus und
> glaube, dass irgendwo ein Fehler liegt, ich kann ihn aber
> nicht finden!
>
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 24.10.2009 | | Autor: | bambiland |
danke!
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 25.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frani!
Es geht auch ohne Induktion, indem du eine  Polynomdivision durchführst mit:
[mm] $$\left(a^n-1\right) [/mm] \ : (a-1) \ = \ ...$$
Wenn $a-1_$ Teile von [mm] $a^n-1$ [/mm] ist, muss diese Polynomdivision aufgehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
