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| Aufgabe | | Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion, dass [mm]\forall n \in\IN n^{3} - n[/mm] durch 6 teilbar ist. |
Hallo,
ich habe schon mehrere Beispiele mit vollständiger Induktion gelöst, bin aber noch nie auf eines ohne Gleichung gestoßen und frage mich nun, wie man in so einem Fall vorgeht.
Muss man vielleicht eine Gleichung aufstellen?
Lg,
frani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion, dass [mm]\forall n \in\IN n^{3} - n[/mm]
> durch 6 teilbar ist.
> Hallo,
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> ich habe schon mehrere Beispiele mit vollständiger
> Induktion gelöst, bin aber noch nie auf eines ohne
> Gleichung gestoßen und frage mich nun, wie man in so einem
> Fall vorgeht.
> Muss man vielleicht eine Gleichung aufstellen?
Hallo,
ja, Du kannst Dir hier eine Gleichung draus machen. Überlege Dir, was es bedeutet, daß [mm] n^3-n [/mm] durch 6 teilbar ist:
es gibt ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] n^3-n=6k.
[/mm]
Nun versuch mal.
Gruß v. Angela
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danke...ich habe es jetzt mal ausprobiert und ausgerechnet, aber mir ist nicht klar, woher ich nun weiß, dass der letzte Ausdruck:
n³+3n²+2n=6k durch 6 teilbar ist?
lg frani
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst ja noch die Induktionsvors. benutzen
also schreib mal [mm] n³+3n²+2n=n^3-n +3n^2+3n
[/mm]
und wenn ne Zahl durch 2 und 3 Teilbar ist, dann auch durch 6
kommst du damit weiter.
Gruss leduart
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hallo,
ich komme bei dem Induktionsschritt n+1 nicht weiter:
(n+1)³-(n+1)=6k
wo kann ich hier etwas einsetzten?das k ist doch ein anderes als oben, oder?
wenn ich mir das so ausrechne komme ich auf:
n³-n+3n+n+n²+2n=6k
hier könnte ich für n³-n, das 6k von der ausgegangenen Formel einsetzten, aber was bringt mir das?
lg frani
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Hallo bambiland,
> ich komme bei dem Induktionsschritt n+1 nicht weiter:
>
> (n+1)³-(n+1)=6k
>
> wo kann ich hier etwas einsetzten?das k ist doch ein
> anderes als oben, oder?
Ja, das ist ein anderes k. Du sollst aber auch nicht gleich am Anfang der Induktion von der Gleichung ausgehen, die du noch gar nicht bewiesen hast.
Beginne nur mit dem Term
[mm] $(n+1)^{3}-(n+1)$,
[/mm]
da kannst du jetzt erstmal ausmultiplizieren:
[mm] $(n+1)^{3}-(n+1) [/mm] = [mm] (n^{3}+3*n^{2}+3*n+1) [/mm] - (n+1) = [mm] (n^{3}-n) [/mm] + [mm] (3*n^{2} [/mm] + 3*n)$
(du hattest da irgendwie was falsch ausmultipliziert).
Nun weißt du nach Induktionsvoraussetzung, dass sich [mm] $n^{3}-n$ [/mm] als $6*k$ mit [mm] $k\in\IN$ [/mm] darstellen lässt, also:
[mm] $(n^{3}-n) [/mm] + [mm] (3*n^{2} [/mm] + 3*n) = 6k + [mm] (3*n^{2} [/mm] + 3*n)$
Nun musst du nur noch zeigen, dass der rechte Summand auch durch 6 teilbar ist.
Dann solltest du, um den Beweis abzuschließen, noch so einen Satz schreiben wie: "Da beide Summanden durch 6 teilbar sind, ist auch die Summe durch 6 teilbar".
Tipp: Der Term $n*(n+1)$ ist auf jeden Fall durch 2 teilbar, weil entweder n oder (n+1) gerade ist.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Sa 24.10.2009 | | Autor: | bambiland |
Danke für die Hilfe,
lg frani
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