Vollständige Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 12.03.2005 | | Autor: | LieZa |
Hallo Leute! Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe mal etwas unter die Arme greifen oder mir einen Ansatz geben , wie ich diese Aufgabe lösen könnte!
Aufg.: Beweise durch vollständige Induktion , dass für alle n E N gilt:
1+1/2+1/4+ ... + 1 geteilt durch 2 hoch n=2(1- ____1_____ )
2hoch n+1
Induktionsanfang: 2( 1- ____1_____ ) = 1/2
2 hoch 1+1
w. A.
Induktionsschritt: Annahme: 2( 1- _____1_____ ) w.A.
2hoch k+1
Bis dahin bin ich schon gekommen. Doch wir haben es im Unterricht nicht weiter besprochen , und mich würde interessieren wie man bei dieser Aufgabe auf ein Ergebnis kommt!
Würde mich freuen , wenn ihr mir dabei helfen könntet!
Gruß , Lieza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lisa!
Bitte verwende den Formeleditor, um die Formeln zu schreiben. Es macht allen Helfern das Leben leichter. Ich konnte deine Formeln nicht wirklich entziffern, sondern nur ahnen, dass es sich wohl um den Beweis der Formel für die geometrische Reihe handelt.
Ihr sollt folgendes Beweisen: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=2(1-\frac{1}{2^{n+1}})$ Richtig?
Sei die Behauptung für $n$ korrekt, so willst du sie nun für $n+1$ zeigen:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\left( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n}})+\frac{1}{2^{n+1}}$
Nach Induktionsverankerung entspricht der Term in der Klammer $2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$, also
$=2\left( 1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}}=2-2\cdot\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=2-\frac{1}{2^{n+1}}=2-2\frac{1}{2^{n+2}}=2\left( 1-\frac{1}{2^{n+2}}\right)$.
Damit ist die Induktion vollständig.
Wenn dir das Prinzip der vollständigen Induktion gefällt, dann kannst du ja versuchen, die folgenden Aufgabe zu lösen:
1.) Eine Verallgemeinerung der obigen Summenformel (Geometrische Reihe)
$1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}$.
2.)
$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$,
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Liebe Grüße,
Hanno
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