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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 So 14.12.2008 | | Autor: | Harakiri |
| Aufgabe | | [mm]\sum_{k=1}^{n} (n-k) 2^{k-1} = 2^n - n - 1[/mm] |
Hallo, ich muss diese Gleichung per vollständiger Induktion beweisen.
Kann die Induktion eigentlich auch, allerdings komme ich an folgender Stelle nicht weiter:
Wenn ich die Behauptung aufstelle (n->n+1) steht nach der Summe:
[mm]\sum_{k=1}^{n+1} (n+1-k) 2^{k-1} [/mm]
Und jetzt weiss ich absolut nicht wie ich von da auf meine Induktionsvoraussetzung komme.
Kann mir da jemand helfen ? Wäre sehr nett !
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das sieht doch gar nicht so schlimm aus. Du brauchst ja nur eine Umformung, die irgendwie die Behauptung für n mit beinhaltet:
[mm] \sum_{k=1}^{n+1}(n+1-k)2^{k-1}=\sum_{k=1}^{n+1}(n-k+1)2^{k-1}=\sum_{k=1}^{n+1}\left((n-k)2^{k-1}+2^{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n+1}(n-k)2^{k-1}+\sum_{k=1}^{n+1}2^{k-1}
[/mm]
Die linke Summe beinhaltet die Induktionsbehauptung, und zu der rechten musst du Dir etwas einfallen lassen, falls Du sie nicht kennst. Im Zweifelsfall schreib Dir mal die ersten Teilsummen auf. Wenn Du dann immer noch nichts siehst, dann addier mal zu jeder eine 1.
Achte aber vor allem darauf, dass beide Summen jetzt bis [mm] \a{}n+1 [/mm] laufen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 14.12.2008 | | Autor: | Harakiri |
Okay, ich denke ich sehe womit ich weiterarbeiten muss. Nämlich mit dem Binomischen Lehrsatz. Allerdings stehe ich jetzt vor einem neuen Problem.
Wenn ich jetzt die IV anwende, dann steht bei mir:
[mm]2^n -n-1 + \sum_{k=1}^{n+1} 2^{k-1} [/mm]
Wenn ich dann eine 1 addiere:
[mm]2^n -n + \sum_{k=1}^{n+1} 2^{k-1} +1 [/mm]
Jetzt komme ich aber nicht auf den Binomischen Lehrsatz, da ich nicht weiss wie ich das k=1 zu k=0 umwandeln kann und außerdem kein [mm] {n \choose k} [/mm] erkennen kann. Dazu kommt noch, dass ich ja [mm]2^{k-1} [/mm] habe und nicht [mm]2^{n-k} [/mm], wie im Binom. Lehrsatz.
Ich könnte noch den (n+1). Summanden aus der Summe herausziehen, allerdings hat mich das auch nicht weitergebracht.
[mm]2^n -n + 2^n +1 + \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} +1 [/mm]
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Nein, der binomische Lehrsatz bringt Dich nicht weiter.
Dafür dies:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}2^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}2^{k}=1+2+4+8+16+...+2^n=2^{n+1}
[/mm]
...und die Stelle, wo Du eine 1 addierst, kann ich nicht nachvollziehen. Die Rechnung stimmt nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 14.12.2008 | | Autor: | Harakiri |
So habe es jetzt geschafft und auch den letzten Fehler gefunden. Minusklammern sind echt zum k....
Vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 So 14.12.2008 | | Autor: | Dath |
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}2^{k-1}[/mm] Da fällt mir spontan ein: Summe einer geometrischen Reihe.
Das kann man auch noch mit V.I. beweisen. Die Formel dafür müsstest du - glaube ich - kennen.
Viele Grüße,
Dath
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