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| Aufgabe | Es sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die Formel:
[mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \vektor{2n\\n} [/mm] = [mm] \vektor{2n\\n} [/mm] - [mm] \vektor{2n\\n-1} [/mm] |
Der Induktionsanfang ist hier schnell gemacht und bewiesen, also halte ich mich damit nicht auf. Ich gehe also gleich zu n [mm] \to [/mm] n+1.
Dabei erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \vektor{2n+2\\n+1} [/mm] = [mm] \vektor{2n+2\\n+1} [/mm] - [mm] \vektor{2n+2\\n}
[/mm]
Ich habe dann weiters die Binomialkoeffizienten aufgelöst, erhalte also:
[mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] * [mm] \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} [/mm] - [mm] \bruch{(2n+2)!}{n!(n+2)!}
[/mm]
Aber dann hänge ich fest. Habe einiges ausprobiert, aber komme nie zu einem passenden Ergebnis. Kann mir jemand sagen, wie ich hier weitermachen müsste?
Danke im Voraus,
Grüße, Eddy
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> Es sei n [mm]\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die
> Formel:
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\vektor{2n\\n}[/mm] = [mm]\vektor{2n\\n}[/mm] -
> [mm]\vektor{2n\\n-1}[/mm]
> Der Induktionsanfang ist hier schnell gemacht und
> bewiesen,
Hallo,
wozu willst Du das mit Induktion zeigen? Das geht doch auch direkt, oder?
[mm]\vektor{2n\\n}[/mm] - [mm]\vektor{2n\\n-1}[/mm] [mm] =\bruch{(2n)!}{n!n!}-\bruch{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!*n}{(n-1)!*n*n!*(n+1)} [/mm] =...
Nun klammere [mm] \vektor{2n\\n}=\bruch{(2n)!}{n!n!} [/mm] aus.
Gruß v. Angela
also halte ich mich damit nicht auf. Ich gehe
> also gleich zu n [mm]\to[/mm] n+1.
> Dabei erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\vektor{2n+2\\n+1}[/mm] = [mm]\vektor{2n+2\\n+1}[/mm] -
> [mm]\vektor{2n+2\\n}[/mm]
>
> Ich habe dann weiters die Binomialkoeffizienten aufgelöst,
> erhalte also:
>
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] * [mm]\bruch{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}[/mm] - [mm]\bruch{(2n+2)!}{n!(n+2)!}[/mm]
>
> Aber dann hänge ich fest. Habe einiges ausprobiert, aber
> komme nie zu einem passenden Ergebnis. Kann mir jemand
> sagen, wie ich hier weitermachen müsste?
>
> Danke im Voraus,
> Grüße, Eddy
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Hallo.
Naja da wir erst letztens die vollständige Induktion in der VO gemacht haben, habe ich stark angenommen, wir sollen sie verwenden. :)
Deiner Lsg kann ich nicht ganz folgen...
Was genau hast du in der folgenden Zeile gemacht? Du hast einmal mit (n+1) erweitert oder? Und bei dem Ausdruck, der rechts vom Minus steht?
[mm] \bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!\cdot{}n}{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}n!\cdot{}(n+1)} [/mm] =
bzw wüsstest du denn wie es eben mit der vollst. Induktion geht? Zumindest einen Ansatz?
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> Hallo.
> Naja da wir erst letztens die vollständige Induktion in
> der VO gemacht haben, habe ich stark angenommen, wir sollen
> sie verwenden. :)
>
> Deiner Lsg kann ich nicht ganz folgen...
> Was genau hast du in der folgenden Zeile gemacht? Du hast
> einmal mit (n+1) erweitert oder?
Ja.
> Und bei dem Ausdruck, der
> rechts vom Minus steht?
Mit n erweitert und (n+1)! umformuliert.
>
> [mm]\bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!\cdot{}n}{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}n!\cdot{}(n+1)}[/mm] .
Gruß v. Angela
P.S..
> bzw wüsstest du denn wie es eben mit der vollst. Induktion
> geht? Zumindest einen Ansatz?
Ich würde die rechte Seite der im Induktionsschluß zu beweisenden Aussage im selben Stile bearbeiten wie ich es Dir gezeigt habe - und hätte in Nullkommanix die linke Seite dastehen ohne die Induktionsvoraussetzung verwendet zu haben.
Keine Ahnung, ob man da irgendwie mit dem Additionstheorem rumfrickeln kann - aber warum sollte man?
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Okay dann versuche ich es ohne zu lösen.
Wenn ich also von hier
[mm] \bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!\cdot{}n}{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}n!\cdot{}(n+1)} [/mm]
ausgehe, dann komme ich mal soweit:
[mm] \bruch{1}{n+1}*\vektor{2n\\n} [/mm] = [mm] \vektor{2n\\n} [/mm] - ....
und beim letzten Teil der rechten Glchg stehe ich dann an...Ich meine hier kann ich ja nicht wieder umformen von [mm] \bruch{(2n)!}{n!n!} [/mm] auf [mm] \vektor{2n\\n} [/mm] oder? dazu fehlt mir ja ein n! im Nenner... Ich sehe zwar dass ich das iwi auf einen Ausdruck von [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] bringen kann, was ja schon sehr ähnlich der linken seite ist, aber wie ich den Rest umforme ist mir nicht ganz klar...
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> Okay dann versuche ich es ohne zu lösen.
>
> Wenn ich also von hier
>
> [mm]\bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!\cdot{}n}{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}n!\cdot{}(n+1)}[/mm]
>
> ausgehe, dann komme ich mal soweit:
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}*\vektor{2n\\n}[/mm]
Wenn Du hier bist, bist Du doch fertig.
Oder verstehe ich Dich falsch?
Es ist
[mm] \vektor{2n\\n} [/mm] - [mm] \vektor{2n\\n-1} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!(n+1)}{(n+1)n!n!}-\bruch{(2n)!\cdot{}n}{(n-1)!\cdot{}n\cdot{}n!\cdot{}(n+1)}= \bruch{(2n)!}{n!n!}* [/mm] (... - ...) = ???
Achso, vielleicht steckt hier ein Problem: was ist denn eigentlich (n-1)!*n ?
Gruß v. Angela
> = [mm]\vektor{2n\\n}[/mm] - ....
>
> und beim letzten Teil der rechten Glchg stehe ich dann
> an...Ich meine hier kann ich ja nicht wieder umformen von
> [mm]\bruch{(2n)!}{n!n!}[/mm] auf [mm]\vektor{2n\\n}[/mm] oder? dazu fehlt mir
> ja ein n! im Nenner... Ich sehe zwar dass ich das iwi auf
> einen Ausdruck von [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] bringen kann, was ja
> schon sehr ähnlich der linken seite ist, aber wie ich den
> Rest umforme ist mir nicht ganz klar...
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Ja ich muss zugeben, über (n-1)!*n habe ich auch schon nachgedacht, also ob das iwi mehr zu bedeuten hat, aber ich komme leider nicht darauf. :(
Aber verstehe ich das richtig, dass du einmal dann [mm] \bruch{(2n)!}{n!n!} [/mm] heruashebst? Das habe ich nämlcih vorher anders verstanden, aber ich sehe eben immer noch nicht, wo der Ausdruck in der Seite rechts vom Minus drinsteckt...
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> Ja ich muss zugeben, über (n-1)!*n habe ich auch schon
> nachgedacht, also ob das iwi mehr zu bedeuten hat, aber ich
> komme leider nicht darauf. :(
Dann schreib es Dir mal ganz ausführlich hin.
Was ist (n-1)! ? (n-1)!=...
Und was ist dann (n-1)!*n ?
>
> Aber verstehe ich das richtig, dass du einmal dann
> [mm]\bruch{(2n)!}{n!n!}[/mm] heruashebst?
Ich klammere ihn aus.
Ausklammern ist sowas: [mm] \bruch{5}{7*4} [/mm] - [mm] \bruch{5}{7*9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{7}(\bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}).
[/mm]
Gruß v. Angela
Das habe ich nämlcih
> vorher anders verstanden, aber ich sehe eben immer noch
> nicht, wo der Ausdruck in der Seite rechts vom Minus
> drinsteckt...
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Ja dann bezeichnen wir mit ausklammern und herausheben eh das gleiche. :)
und (n-1)! wäre (n-1)*(n-2)*(n-3)...
richtig?
wenn das stimmt dann wäre (n-1)!*n = [mm] (n^{2}-n)*(n^{2}-2n)*(n^{2}-3n)...
[/mm]
Okay das heißt da könnte ich mir irgendwie n!*n! rausholen, denke ich mir, aber wie der Rest, also das -n, -2n etc dann ausschaut, kann ich mir auf die Schnelle nicht zusammenreimen...
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> Ja dann bezeichnen wir mit ausklammern und herausheben eh
> das gleiche. :)
Beruhigend.
>
> und (n-1)! wäre [mm] (n-1)*(n-2)*(n-3)...\red{*3*2*1}
[/mm]
>
> richtig?
Mit meiner roten Ergänzung ist's richtig.
>
> wenn das stimmt dann wäre (n-1)!*n =
> [mm](n^{2}-n)*(n^{2}-2n)*(n^{2}-3n)...[/mm]
Huh! Hilfe!
Vorübung zum Anwärmen:
Was ist 5! ? (Nur aufschreiben, nicht ausrechnen.)
Und wenn Du das mit 6 multiplizierst, also 5!*6 rechnest?
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> Okay das heißt da könnte ich mir irgendwie n!*n! rausholen,
Darauf läuft#s hinaus. Und wenn man's richtig macht, ist's ganz einfach.
Gruß v. Angela
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Dann ist es also [mm] (n-1)(n-2)(n-3)\ldots*3*2*n
[/mm]
Aber selbst wenn das richtig ist, sehe ich immer noch nicht, wie es weiter geht. :(
Stehe immer noch ziemlich auf der Leitung :((
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> Dann ist es also [mm](n-1)(n-2)(n-3)\ldots*3*2*n[/mm]
=(n-1)!*n
Aha. Das sieht doch schon besser aus. Und einfacher ist es noch dazu.
So. Nun stelle ich das n mal an den Anfang und klemme hinten die 1 wieder hinter:
(n-1)!*n= [mm] (n-1)(n-2)(n-3)\ldots*3*2*n =n*(n-1)(n-2)(n-3)\ldots*3*2*1= [/mm] ???
Gruß v. Angela
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Ergibt dann [mm] (n^{2}-n)*(n-2)! [/mm] oder wenn ich das n nicht reinmultipliziere eben [mm] n\*(n-1)(n-2)!
[/mm]
Soweit hätt ichs mir schon gedacht. Das ist eben der Punkt wo ich nicht genau weiß wie ich das n!n! rausbekomm bzw was mit dem Rest des Ausdrucks passiert.
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> Ergibt dann [mm](n^{2}-n)*(n-2)![/mm] oder wenn ich das n nicht
> reinmultipliziere eben [mm]n\*(n-1)(n-2)![/mm]
Hallo,
fast könnte man meinen, Du wolltest mich necken...
Zuvor stand schon da: [mm] (n-1)!*n=n\cdot{}(n-1)(n-2)(n-3)\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1
[/mm]
Könntest Du jetzt mal ganz ausführlich n! aufschreiben und beides vergleichen?
Gruß v. Angela
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Das würde mir nie einfallen, ich hab einfach eine anstrengende Woche hinter mir, und fang an die einfachsten Sachen zu übersehen, weil ich leider nicht einmal am Wochenende Zeit habe, von der Uni auszuruhen. :(
Hab nun gesehen, dass es das Gleiche ist, wodurch der Rest tatsächlich ein Kinderspiel ist.
Herzlichen Dank für die Geduld. ;)
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