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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Mo 06.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Hi Leute,
also ich habs jetzt schonmal geschafft die explizite Formel herauszubekommen:
[mm] a_{n}=(2n+1)^{2}
[/mm]
Was ich jetzt nich weis, ist wie man eine Formel für die vollständige Induktion aufstellen. Wie man diese dann durchführt weis ich dann wieder.
Ich habe mir gedacht:
[mm] 1+9+25+...+(2n+1)^{2}=(2n+1)^{2}
[/mm]
aber das macht iwie nich so viel sinn.
Gruss und Danke
Lilli
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 07.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine richtige Vermutung ist doch dass [mm] a_n+(2n+1)^2
[/mm]
jetzt musst du zeigen, dass dann auch die Rekursoinsformel gilt.
1. [mm] a_0=1 [/mm] stimmt.
2. angenommen die vermutung ist reichtig fuer an, dann gilt sie auch fuer [mm] a_{n+1}
[/mm]
jetzt schriebst du deine Formel fuer [mm] a_{n+1} [/mm] hin und zeigst, dass dann [mm] a_{n+1}=an+8(n+1)
[/mm]
die Gleichung , die du hingeschrieben hast ist sicher falsch! Sieh sie dir nochmal an!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Di 07.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
> 1. [mm]a_0=1[/mm] stimmt.
> 2. angenommen die vermutung ist reichtig fuer an, dann
> gilt sie auch fuer [mm]a_{n+1}[/mm]
> jetzt schriebst du deine Formel fuer [mm]a_{n+1}[/mm] hin und
> zeigst, dass dann [mm]a_{n+1}=an+8(n+1)[/mm]
Vielen Dank erstmal.
Ich versteh das aber noch nicht so ganz.
Sonst wenn ich iwo die vollst. Induktion durchführen sollte, hatte ich eine Gleichung z.B.
[mm] 1+2+3+...+n=\bruch{n*(n+1}{2}
[/mm]
was entspricht bei der obigen Aufgabe jetzt diesem Beispiel?
Gruss
Lilli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 07.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ausser dass man fuer dein Beispiel zum Beweis der Formel auch die vollstaendige Induktion benutzt haben die 2 nichts miteinander zu tun.
Induktionsbeweise werden zwar oft mal benutzt, um summenformeln zu beweisen.
Hier sollst du aber keine Summenformel beweisen, sondern du willst beweisen, dass die Rekursionsformel und die explizite formel dieselbe Folge darstellen. das hat wirklich nix mit Summen zu tun!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Di 07.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
Ok, dann muss ich zurücknehmen, was ich vorher gesagt habe. Ich weis dann doch nicht wie ich das machen muss.
Meinst du, du könntest mit den Anfang vom Induktionsanfang und vom Induktionsschritt zeigen. Ich versteh das aus der reinen Erklärung gerade iwie nicht.
Wäre echt total nett.
Lilli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Di 07.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Induktionsanfang n=0 [mm] a_0=1 [/mm] bei Rekursion
explizit: [mm] a_0=(2*0+1)^2=1 [/mm] also stimmt es fuer n=0
Indvors:
die explizite Formel gilt fuer [mm] a_n
[/mm]
Behauptung: dann gilt sie auch fuer [mm] a_{n=1}
[/mm]
jetzt schreib dein explizites [mm] a_{n=1} [/mm] hin, und rechne aus, dass dann [mm] a_n+8*(n+1) [/mm] rauskommt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Di 07.10.2008 | | Autor: | LiliMa |
> Induktionsanfang n=0 [mm]a_0=1[/mm] bei Rekursion
> explizit: [mm]a_0=(2*0+1)^2=1[/mm] also stimmt es fuer n=0
> Indvors:
> die explizite Formel gilt fuer [mm]a_n[/mm]
> Behauptung: dann gilt sie auch fuer [mm]a_{n=1}[/mm]
Bis hier hab ichs jetzt verstanden. Vielen Dank.
Was ich noch nicht ganz verstehe ist das:
> jetzt schreib dein explizites [mm]a_{n=1}[/mm] hin, und rechne aus,
> dass dann [mm]a_n+8*(n+1)[/mm] rauskommt!
Heist dass ich soll folgendes machen:
[mm] (2n+1)^{2}=a_n+8*(n+1)
[/mm]
Gruss und sry das ich das so schwer kapiere
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Hallo LiliMa,
nein, im Induktionsschritt sollst du zeigen, dass unter der Annahme, dass deine explizite Darstellung für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt (=Induktionsvoraussetzung (IV)), sie gefälligst auch für $n+1$ gilt:
Also: (IV): Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig, aber fest und gelte [mm] $\red{a_n=(2n+1)^2}$
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass auch [mm] $a_{\blue{n+1}}=(2(\blue{n+1})+1)^2$ [/mm] gilt.
Dazu darfst du die (IV) verwenden:
Es ist [mm] $a_{n+1}=\red{a_n}+8(n+1)$ [/mm] nach der Rekursionsvorschrift
[mm] $=\red{(2n+1)^2}+8(n+1)$ [/mm] nach (IV), denn [mm] $a_n$ [/mm] lässt sich eben nach (IV) genauso explizit darstellen
Nun rechne das aus, forme es um und schaue, dass du am Ende [mm] $...=(2(n+1)+1)^2$ [/mm] dastehen hast ...
LG
schachuzipus
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