www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Mi 13.08.2008
Autor: Trixi19

Aufgabe
Betrachten Sie die Summe sn = 2,4,6,...,2 mal n, n [mm] \in \IN [/mm] *, d.h die Summe der ersten n geraden Zahlen.

a) Berechnen Sie s1, s2, s3,... so lange, bis Sie einen allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.

b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion.

Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.

Mein Lösungsvorschlag:
a) s1= 2 = 1 mal 2
   s2= 2+4 = 2 mal 3
   s3= 2+4+6 = 3 mal 4
   s4= 2+4+6+8 = 4 mal 5

somit sn = n mal (n+1)

b) I Induktionsanfang
     Zu zeigen: A(1)    s1= 1 mal (1+1)
             s1= 1 mal 2,  Bedingung I ist also erfüllt.
  II Induktionsvorausetzung: A(k), d.h. sk = k mal (k+1)
     Zu zeigen: A(k+1), d.h sk+1= k mal (k+1) +1

     Nachweis: sk+1= k mal (k+1) +1 = k² + k +1

Mein Problem ist nun, dass ich mir bei der Aufgabe b überhaupt nicht sicher bin, ob diese richtig ist. Der Nachweis sieht auch irgendwie komisch aus..
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen und mich auf einen eventuellen Fehler aufmerksam machen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß, Trixi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mi 13.08.2008
Autor: Framl

Hi,

> Betrachten Sie die Summe sn = 2,4,6,...,2 mal n, n [mm]\in \IN[/mm]
> *, d.h die Summe der ersten n geraden Zahlen.
>  
> a) Berechnen Sie s1, s2, s3,... so lange, bis Sie einen
> allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.
>  
> b) Beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige
> Induktion.
>  Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
>  
> Mein Lösungsvorschlag:
>  a) s1= 2 = 1 mal 2
>     s2= 2+4 = 2 mal 3
>     s3= 2+4+6 = 3 mal 4
>     s4= 2+4+6+8 = 4 mal 5
>  
> somit sn = n mal (n+1)
>  
> b) I Induktionsanfang
>       Zu zeigen: A(1)    s1= 1 mal (1+1)
>               s1= 1 mal 2,  Bedingung I ist also erfüllt.

Das ist ok.

>    II Induktionsvorausetzung: A(k), d.h. sk = k mal (k+1)
>       Zu zeigen: A(k+1), d.h sk+1= k mal (k+1) +1
>  

Das stimmt so nicht. Du muss zeigen [mm] $s_{k+1}=(k+1)\cdot [/mm] ((k+1)+1)=(k+1)(k+2)$.

Du musst [mm] $s_{k+1}$ [/mm] als einen Ausdruck schreiben, der aus [mm] $s_k$ [/mm] besteht (damit du die Induktionsvor. anwenden kannst) und einen anderen Teil. Das muss man sich dann überlegen:

[mm] $s_{k+1}=s_k+(2k+2$), [/mm]

da $2k$ die $k-te$ Gerade Zahl darstellt. Um zur nächsten geraden Zahl zu kommen, musst du noch 2 addieren.

Also:

[mm] $s_{k+1}=s_k+(2k+2)\stackrel{IV}{=}k\cdot (k+1)+(2k+2)=k^2+k+2k+2=k^2+3k+2=(k+1)\cdot [/mm] (k+2)$

Genau das war zu zeigen.

> Nachweis: sk+1= k mal (k+1) +1 = k² + k +1
>  
> Mein Problem ist nun, dass ich mir bei der Aufgabe b
> überhaupt nicht sicher bin, ob diese richtig ist. Der
> Nachweis sieht auch irgendwie komisch aus..
>  Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen und mich
> auf einen eventuellen Fehler aufmerksam machen?
>  Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>  
> Gruß, Trixi
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß Framl


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 So 17.08.2008
Autor: Trixi19

Vielen, vielen Dank für diese schnelle Antwort!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]