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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 17.04.2008 | | Autor: | rollo |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
für [mm] x\not=1 [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] |
Diese Gleichung soll mit der vollständigen Induktion bewiesen werden.
Induktionsanfang:
n=1
[mm] \summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(1+1)x^{1}+1x^{1+1}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(2)x^{1}+1x^{2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
somit
[mm] \summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{(1-x)^{2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
die rechte Seite ist ja gleich 1. Auf der linken Seite ist kein n, muss ich dann k=1 einsetzen?
Das würde ich jetzt vermuten, da ich das erste Glied nehme und das in dem Falle ja k=1 ist. Oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/mm]
> für [mm]x\not=1[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm]
> Diese Gleichung soll mit der vollständigen Induktion
> bewiesen werden.
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(1+1)x^{1}+1x^{1+1}}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{1-(2)x^{1}+1x^{2}}{(1-x)^{2}}[/mm]
> somit
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\bruch{(1-x)^{2}}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> die rechte Seite ist ja gleich 1. Auf der linken Seite ist
> kein n, muss ich dann k=1 einsetzen?
> Das würde ich jetzt vermuten, da ich das erste Glied nehme
> und das in dem Falle ja k=1 ist. Oder??
Bingo!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 17.04.2008 | | Autor: | rollo |
Ok, also der Induktionsanfang steht:
1=1 Haken hinter machen.
nun zum Induktionsschritt:
[mm] \bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
n -> n + 1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}kx^{k-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}} +\bruch{1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
die frage ist jetzt, wie ich das links machen muss.
setze ich jetzt für k=2 ein, da es das nachfolgende Glied ist??
Oder gehe ich da gerade total falsch vor???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Ok, also der Induktionsanfang steht:
> 1=1 Haken hinter machen.
>
> nun zum Induktionsschritt:
> [mm]\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> n -> n + 1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}kx^{k-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}} +\bruch{1-(n+2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> die frage ist jetzt, wie ich das links machen muss.
> setze ich jetzt für k=2 ein, da es das nachfolgende Glied
> ist??
> Oder gehe ich da gerade total falsch vor???
Leider ja.
die Summe mit den n+1 Summanden ist doch die Summe der bisherigen n Summanden
(also [mm]\summe_{k=1}^{n+1}kx^{k-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}} [/mm]) plus dem einen neu dazugekommenen Summanden mit den Nummer k=n+1, also der Summand [mm] kx^{(n+1)-1}.
[/mm]
Mehr nicht.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 17.04.2008 | | Autor: | rollo |
Ich hoffe ich versteh das jetzt richtig.
Also
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}kx^{k-1} [/mm] + [mm] (n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}} [/mm] + [mm] (n+1)x^{(n+1)-1}
[/mm]
und den hinteren Teil dann mit [mm] \bruch{1-x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] erweitern und addieren bzw ausmultiplizieren??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich hoffe ich versteh das jetzt richtig.
>
> Also
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}kx^{k-1}[/mm] +
> [mm](n+1)x^{(n+1)-1}=\bruch{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/mm] +
> [mm](n+1)x^{(n+1)-1}[/mm]
>
> und den hinteren Teil dann mit [mm]\bruch{1-x^{2}}{1-x^{2}}[/mm]
> erweitern und addieren bzw ausmultiplizieren??
Im Prinzip ja. Vergiss die Klammer bei [mm] (1-x)^2 [/mm] nicht.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 17.04.2008 | | Autor: | rollo |
dann kriege ich daraus:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} kx^{k-1}+ (n+1)x^{n}=\bruch{1-(n-2)x^{n+1}+(n+1)x^{n+2}}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Ich hoffe mal dass ich keine Fehler beim ausmultiplizieren und zusammenfassen gemacht habe.
Jetzt wüsste ich auch nicht mehr weiter...
Danke schonmals für deine Hilfe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 17.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rollo!
Hast Du Dich hier nur vertippt? Denn wenn Du folgendes erhältst, bist Du doch bereits fertig.
$$... \ = \ [mm] \bruch{1-(n \ \red{+} \ 2)*x^{n+1}+(n+1)*x^{n+2}}{(1-x)^{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Do 17.04.2008 | | Autor: | rollo |
oh, übersehen :) die alte laier.. vorzeichen!
sehr nett von euch!!
danke!!
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