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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mi 07.11.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Beweise: [mm] e^n [/mm] > n+1, e ~ 2,17 (n Element der nat. Zahlen \ {0})
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
So, bin soweit gekommen, dass ich den Logarithmus gezogen hab, bisschen vereinfacht hab aber weiter weiss ich nicht^^
Sieht dann so aus: n > ln(n+1) . Wuerde ich jetzt einfach 1 hinzuaddieren staende links mein gewuenschter ausdruck n+1(durch e^(...)) nur staende dann: e^(n+1) > n+1 + ln(1). Und da ln(1) 0 ist bringt mir das wenig^^
Zu zeigen waere ja nach Indukstionsschritt das gilt:
e^(n+1) > n+2
Erbitte um Hilfe.^^
MfG Tomi
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hi xcase
ich würde es ohne den ln versuchen.
Fangen wir also beim Induktions anfang an:
[mm] e^1 [/mm] > 1+1
[mm] \gdw e^1 [/mm] > 2
Die Voraussetzung ist bei dir:
[mm] e^n [/mm] > n +1
nun machen wir den Schritt
n -> n+1:
[mm] e^{n+1} [/mm] > n + 1 + 1
[mm] \gdw e^ne^1 [/mm] > n+1+1
[mm] \gdw e^n [/mm] > [mm] \bruch{n+1+1}{e^1} [/mm]
Durch den Induktionsanfang weißt du dass [mm] e^1 [/mm] >2 ist, wenn du damit ein bisschen rumspielst, müsstest du auf eine Lösung kommen 
Lieben Gruß Guido
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mi 07.11.2007 | | Autor: | xcase |
Danke für die schnelle Antwort. Werd mich bemühen ;)
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Hallo Tomi,
noch ne kurze Ergänzung zu Guidos post, der schon die richtigen Ideen hatte.
Ich würde lieber diesen Weg, der "geradeheraus" abschätzt, nehmen - ist aber ganz ähnlich wie in Guidos post
Also nimm die linke Seite her:
[mm] $e^{n+1}=e^n\cdot{}e\underset{IV}{>}(n+1)\cdot{}e\underset{IA}{>}(n+1)\cdot{}2=2n+2=n+(n+2)>n+2$ [/mm] , da $n>0$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Habe eine ähnliche Aufgabe, allerdings soll man alle a finden, für die gilt:
[mm] a^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
Und allem Anschein nach ist dieses a [mm] \ge [/mm] 3
Ich habs mit dem selben Ansatz versucht:
[mm] a^{n+1} [/mm] = a* [mm] a^{n} [/mm] > [mm] 3*3^{n} [/mm] > [mm] 3*n^{2} [/mm] ...
und nun komme ich nicht weiter. Ich finde einfach keine weitere Folgerung, die auf die benötigte Ungleichung führen würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
https://matheraum.de/read?t=320967
Ich hab's so gemacht!
Gruß Salomon
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