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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Beweisen sie per vollständiger Induktion:
Für alle n [mm] \geq [/mm] 2 gilt [mm] \frac{1}{\sqrt{1}}+...+ \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] > [mm] \sqrt{n} [/mm] |
Hi!
Bleibe wieder beim Induktionschluss stecken :(
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}{\frac {1}{\sqrt{k}} = \summe_{k=1}^{n}}{ \frac {1} {\sqrt{k}}}+\frac {1}\sqrt{n+1} [/mm] > [mm] \sqrt{n}+\frac {1}\sqrt{n+1}
[/mm]
Ich nehme an jetzt muss ich abschätzen. Allerdings fällt mir nichts gutes ein um die gewünschte Umformung machen zu können :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Di 06.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Hi!
Da du wahrscheinlich wie ich grad noch viel zu spät an deinen Hausaufgaben sitzt, konnnte ich mir ein gewisses Maß an Sympathie einfach nicht verdrängen und hab mir mal deine Aufgabe angeschaut.
Du willst doch beweisen, dass gilt (Ind. Behauptung):
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\frac {1}{\sqrt{k}} [/mm] > [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
Also geh doch so vor:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}{\frac {1}{\sqrt{k}} = \summe_{k=1}^{n}}{ \frac {1} {\sqrt{k}}}+\frac {1}{\sqrt{n+1}} [/mm] > [mm] \sqrt{n}+\frac {1}{\sqrt{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+1}{\wurzel{n+1}} [/mm] > [mm] \bruch{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+1}{\wurzel{n}}=\wurzel{n+1}+\bruch{1}{\wurzel{n}}> \wurzel{n+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
danke dir. habe ich einfach mal wieder diese einfachen abschätzungen übersehen.
Viel Erfolg noch bei deinen Hausaufgaben!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 08.11.2007 | | Autor: | Wimme |
mir ist auf einmal aufgefallen:
Bei der 1.Abschätzung ist doch ein Fehler!! Wenn man den Nenner kleiner macht, wird der Bruch größer.
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Hallo Wimme!
Du hast Recht ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann schätzen wir halt wie folgt ab: $... \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{n}*\wurzel{n+1}+1}{\wurzel{n+1}} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{\wurzel{n}*\wurzel{\red{n}}+1}{\wurzel{n+1}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 08.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo,
der letzte Eintrag von Roadrunner ist richtig. Es muss zwei mal über die Wurzel aus n abgeschätzt werden, und nicht wie vorher geschrieben einmal aus Wurzel aus n und einmal aus Wurzel (n+1)
Nach einer weiteren kleinen Umformung ist man auch schon fertig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 12.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Tut mir leid, war wirklich so müde, dass ich dachte die Umformung wäre richtig, aber wenn ich das jetzt noch mal so seh, du meine Güte, was hab ich mir da bloß gedacht... verzeihung ;)
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