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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 05.11.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Beweisen Sie per Induktion:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 gilt [mm] \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \right)^{2} \le [/mm] 2n. |
Knabbere jetzt schon ne ganze Weile an der Aufgabe und der ein oder andere Batzen Papier wurde auch schon vernichtet ;)
Hier mein Ansatz:
[mm] \underline{Induktionsanfang} [/mm]
Gilt die Aussage für n=1 ?
[mm] \left( \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{k} \right)^{2} [/mm] = 1 [mm] \le [/mm] 2(1) = 2
Aussage gilt für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsschluss}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \right)^{2} \le [/mm] 2n gilt für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1
Induktionsbehauptung:
Es gelte [mm] \left( \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} \right)^{2} \le [/mm] 2(n+1)
Induktionsbeweis:
[mm] \left( \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k} \right)^{2} [/mm] = [mm] \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{2} [/mm] = [mm] \left( \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \right)^{2} + 2* \bruch{1}{n+1} * \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{(n+1)^{2}} \right) \le [/mm] (mit IV): 2n + [mm] \bruch{2}{n+1}*\wurzel{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
Tja, ab hier wirds haarig, hat jemand nen guten Tipp wie man am besten weitergehen sollte? Oder mache ich es mir zu schwierig und es würde leichter funktionieren?
Eine meiner Ansätze:
$ 2n+ [mm] \bruch{2}{n+1}*\wurzel{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}} \le [/mm] 2n+2 $
[mm] \gdw \bruch{2}{n+1}*\wurzel{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}} \le [/mm] 2
aber ab hier gehts nicht so recht weiter :/
Hat jemand von euch eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> $ [mm] \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{(n+1)^{2}} \right)^{2} [/mm] $
bis hier sieht es sehr gut aus, allerdings ging hier bei der verwendung der binomischen formel etwas schief:
> = [mm]\left( \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \right)^{2} + 2* \bruch{1}{(n+1)^{\red{2}}} * \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{(n+1)^{\red{4}}} \right) \le[/mm]
nun solltest du die induktionsvoraussetzung nur auf die erste summe anwenden und bei der mittleren summe einfach die gauß'sche summationsregel für die ersten $n$ natürlichen zahlen verwenden. der rest sollte dann einfaches zusammenfassen sein.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 05.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Ich seh grad, dass sich da wohl ein Fehler eingeschlichen hat:
sollte eigentlich heißen:
$ [mm] \left( \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} + \bruch{1}{(n+1)}\right)^{2} [/mm] $
und dann ist meine restliche Rechnung richtig, nur leider führt sie zu nichts :/
hast du vllt noch ne Idee? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
sorry, da hatte ich vorhin wohl einen massiven knick in der optik. ich weiß auch gar nicht mehr, wie ich auf die idee mit der gauß'schen summen formel gekommen bin.
wenn man nun deine letzte gleichung aus deiner ersten fareg nimmt, so ist zu zeigen:
[mm] $\frac{2}{n + 1} \sqrt{2n} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n + 1)^2} \leq [/mm] 2$. dies ist äquivalent zu - wenn man mit $(n + [mm] 1)^2 [/mm] > 0$ durchmultipliziert - $2(n + [mm] 1)\sqrt{2n} [/mm] + 1 [mm] \leq 2n^2 [/mm] + 4n + 2$ (*).
nun gilt für $n [mm] \geq [/mm] 2$ dass [mm] $\sqrt{2n} \leq [/mm] n$ und damit, dass [mm] $2(n+1)\sqrt{2n} [/mm] + 1 [mm] \leq [/mm] 2(n+1)n + 1 = [mm] 2n^2 [/mm] + 2n + 1 [mm] \leq 2n^2 [/mm] + 4n + 2$ und damit ist (*) eine wahre aussage. unter umständen muss man so aber noch ein weiteres argument für die gültigkeit der aussage für $n = 2$ einschieben.
kein wirklich schöner beweis, aber das sollte es tuen. ich denke den kann man auch noch in eine forward rechnung ohne die ganzen ecken verwandeln.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mo 05.11.2007 | | Autor: | BobBoraxo |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mo 05.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Na, du hast da den Anfang aus dem Induktionsbeweis mit dem Ende der Induktionsvoraussetzung vermischt, keine gute Suppe ;)
müsste heißen:
... [mm] \le [/mm] 2n+2
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