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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 01.11.2007 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
Der Rest einer natürlichen Zahl n bei der Division durch 9 ist gleich dem Rest der Quersumme von n bei der Division durch 9. Die Quersumme von n ist als die Summe aller Ziffern der Dezimaldarstellung von n definiert. |
Hallöchen liebe Forenmitglieder,
hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Es geht also um einen Beweis mit vollständiger Induktion. Das Beweisprinzip ist mir klar und ich habe es bereits oft erfolgreich angewandt.
Allerdings komme ich bei dieser Aufgabenstellung nicht weiter.
Habe die zu beweisende Behauptung folgendermaßen formalisiert:
n % 9 = q(n) % 9
Dies erschien mir anfangs plausibel. Ich begann auch sogleich mit dem Induktionsanfang mit n=0:
0 % 9 = q(0) % 9 => 0 = 0
Der Induktionsschritt wäre nun zu beweisen, das folgendes auch gilt:
(n + 1) % 9 = q(n + 1) % 9
Also nach meinen anfänglichen Überlegungen:
(n + 1) % 9 = (n % 9) + (1 % 9) = q(n) % 9 + (1 % 9) = q(n+1) % 9
Dannach viel mir allerdings auf, dass die Behauptung für n = 8 nicht stimmt:
(8 + 1) % 9 = 0 aber
(8 % 9) + (1 % 9) = 9
Hat jemand einen Tipp für mich? Wo liegt meiner Denkfehler? Ist die Formalisierung glücklich gewählt?
lg Jakob
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.ich kapier nicht, was dein % Zeichen soll.
2. ich seh nicht, wo du die Dezimaldarstellung von n benutzt hast.
3. Die Ind. Vors ist doch eher dass es für alle 1-stellige Zahlen gilt.
denn deine Ind. Vors gilt ja für 7 und 4 genauso!
Also versuchs nochmal, aber durch Induktion über die Stellenzahl im Dezimalsystem.
Gruss leduart
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Der Quersummensatz besagt:
dass wenn im dezimalsystem(basis 10) eine zahl durch einen teiler der höchsten ziffer teilbar ist(also 9,3,1), dann gilt dies auch für die quersumme.
es gilt zu beweisen:
Q10(a) mod 9=a mod 9
Dies ist ohne weiteres per vollständiger intuition möglich. wir wissen, dass diese aussage für alle a>=0 gültig ist. Q10 ist die Funktion um aus einer natürlichen zahl im dezimalsystem die einstellige quersumme zu berechnen.
Hinweis: Qb(a)=a mod(b-1)
b steht für die Basis des jeweiligen systems
InduktionsAnfang:
a=0
Q10(0) mod 9 = 0 mod 9 Q10=0mod 9
0 mod 9 mod 9 = 0 mod 9
0 = 0
InduktionsSchritt:
Q10(a+1) mod 9 = (a+1) mod 9
(a+1) mod 9 mod 9 = (a+1) mod 9
(a+1)mod 9 = (a+1) mod 9
damit ist der beweis geführt. deine fehler waren:
1. % ist keine funktion in der mathematik(nur C,c++,java...)
2. du hastmit der Basis 9 gerechnet
3. das kommutativ gesetz ist hier nicht gültig
((a+1)mod9 != a mod 9 + 1 mod 9)
ich hoff ma das hat dir geholfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Fr 02.11.2007 | | Autor: | jboss |
Vielen Dank! Ihr habt mir sehr weitergeholfen!
lg Jakob
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