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Hallo!
Bei dieser Aufgabe, habe ich das gleiche Problem. Ich soll die Aussage mit vollständiger Induktion beweisen und komme leider nicht weiter. Für n=1 ist alles klar. Nur im zweiten Schritt komme ich da irgendwie nicht weiter.
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit n>1 gilt:
Sind [mm] x_1,...,x_n [/mm] positive relle Zahlen, so ist
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+x_k)>1+\summe_{k=1}^{N} x_k
[/mm]
Will es jetzt für n+1 zeigen:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+x_k)>1+\summe_{k=1}^{N+1} x_k
[/mm]
[mm] (\produkt_{k=1}^{n+1}(1+x_k))*(1+x_{n+1})>1+(\summe_{k=1}^{N+1} x_k)+x_n+1
[/mm]
Hier auch: Was kann ich denn daraus schließen?
Gruß Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hallo Jenny,
zunächst mal denke ich, dass Du auch bei der Obergrenze der Summe ein kleines n,
und nicht ein grosses N meinst.
Dann musst Du den Induktionsanfang für n=2, und nicht für n=1 zeigen, aber das
sollte auch kein Problem sein.
Beim Induktionsanfang kannst Du dann auch vielleicht schon erkennen, welche Idee
beim Induktionsschritt dahintersteckt.
Schreib mal das Produkt aus den (n+1)-Faktoren als Produkt der ersten n-Faktoren
und dem n+1.en Faktor auf, und wende die Induktionsannahme auf das Produkt der
ersten n-Faktoren an.
Dann erhältst Du ein Produkt aus vier Termen und dann kannst Du vielleicht den
letzten Schritt selber sehen.
Hoffe , es hilft ein wenig.
Liebe Grüsse,
Sven
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