Vollständige Induktion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Do 14.10.2004 | | Autor: | MegaData |
Hi !
Wir wiederholen auch grad vollständige Induktion, ein Thema, was ich schon in der Schule sehr schwer fand. Bis zum Beweis hin ist es meist keine Kunst, aber dann fehlen mir immer die Kniffe um die Aufgabe zu beenden. Daher würde ich mich freuen, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] n (n+1)(2n+1)
Der Übersicht halber, betrachte ich linken und rechten Teil immer getrennt.
Beim Beweis komme ich daher links auf [mm] \summe_{i=1}^{k+1} i^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} i^{2} [/mm] + [mm] (k+1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] k (k+1) (2k+1)
rechts steht: [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (k+1) (k+2) (2k+3) = ??? tja, wie komme ich nun auf den anderen Therm ? Genau hier hakts immer....
Hab noch 2 Andere an denen ich grad sitze, mal schauen wie weit ich da komme...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
THX !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 14.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi !
> Wir wiederholen auch grad vollständige Induktion, ein
> Thema, was ich schon in der Schule sehr schwer fand. Bis
> zum Beweis hin ist es meist keine Kunst, aber dann fehlen
> mir immer die Kniffe um die Aufgabe zu beenden. Daher würde
> ich mich freuen, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen
> könntet:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm] n (n+1)(2n+1)
>
> Der Übersicht halber, betrachte ich linken und rechten Teil
> immer getrennt.
> Beim Beweis komme ich daher links auf [mm]\summe_{i=1}^{k+1} i^{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} i^{2}[/mm] + [mm](k+1)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] k (k+1) (2k+1)
> rechts steht: [mm]\bruch{1}{6}[/mm] (k+1) (k+2) (2k+3) = ??? tja,
> wie komme ich nun auf den anderen Therm ? Genau hier hakts
> immer....
Hier scheint einiges durcheinander geraten zu sein. Also ich nehme an, du hast den Induktionsanfang selbst.
Dann ist die Induktionsvorraussetzung:
[mm]\summe_{i=1}^{k} i^{2} = \bruch{1}{6} k (k+1)(2k+1)[/mm] gilt für ein k
Der Induktionsschritt ist dann: $(k [mm] \to [/mm] k+1)$
Indkutionsbehauptung:
[mm]\summe_{i=1}^{k+1} i^{2}= \bruch{1}{6} (k+1)(k+2)(2k+3)[/mm]
Nun kommt der Beweis. Ich beginne auf der linken Seite:
[mm]\summe_{i=1}^{k+1} i^{2} = \summe_{i=1}^{k} i^{2} + (k+1)^2 \underbrace{=}_{IVor} \bruch{1}{6} k (k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \bruch{1}{6} (k^2+k)(2k+1) + k^2 +2k +1 [/mm]
[mm]= \bruch{1}{6} (2k^3+3k^2+k) + k^2+2k+1 = \bruch{1}{6}( 2k^3+9k^2+7k +6)[/mm]
Jetzt zeige ich mittels Polynomdivision, dass$ ( [mm] 2k^3+9k^2+13k [/mm] +6) = (k+1)(k+2)(2k+3) $ ist. Dann bin ich fertig.
[mm] ( 2k^3+9k^2+13k +6) =(k+1) (2k^2+7k+6) = (k+1)(k+2) (2k+3)[/mm]
Das musst du durch Polynomdivision selbst überprüfen, weil ich das hier nicht eingeben kann. 
> Hab noch 2 Andere an denen ich grad sitze, mal schauen wie
> weit ich da komme...
Nur zu, wir sind 24 Stunden offen.
Gruß,
Micha
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Hallo THX!
> Der Übersicht halber, betrachte ich linken und rechten Teil
> immer getrennt.
> Beim Beweis komme ich daher links auf [mm]\summe_{i=1}^{k+1} i^{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} i^{2}[/mm] + [mm](k+1)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] k (k+1) (2k+1)
Du hast hier einfach vergessen [mm](k+1)^{2}[/mm] dazu zu addieren:
[mm]\summe_{i=1}^{k+1} i^{2}=\summe_{i=1}^{k} i^{2}+(k+1)^{2}=\bruch{1}{6}k (k+1) (2k+1)+(k+1)^{2}=\bruch{1}{6}(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))=\bruch{1}{6}(k+1)(2k^{2}+7k+6)[/mm]
[mm]=\bruch{1}{6}(k+1)(2k^{2}+4k+3k+6)=\bruch{1}{6}(k+1)(2k(k+2)+3(k+2))=\bruch{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)[/mm]
q.e.d <"quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war">
Alles klar?
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 18.10.2004 | | Autor: | MegaData |
Hallo Ladis !
Vielen Dank für deine Rechnung, ich glaub ich habs verstanden. Der Weg über die Polynomdivision erschien mir ein wenig zu schwierig... *g*
Sehe ich das richtig, das du gleich im 1. Schritt mit quadratischer Ergänzung gearbeitet hast ? Wo wird denn diese Rechenmethode mal an ganz simplen Beispielen erläutert ? Ich hatte das in der Schule leider nicht, und jetzt wird das einfach vorrausgesetzt... :-/
Wie kann man eigentlich ein Vektorprodukt über vollständige Induktion beweisen ?!
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Zur quadratischen Ergänzung:
Ihr Sinn ist es, einen Quadratischen Term (der Form [mm] P:=x^2+ax+b [/mm])umzuformen in einen Term der Form [mm]
(x+c)^2+d [/mm].
Hierzu muss man die Binomische Formel rückwärts anwenden, also einen Term der Form [mm][mm] (x^2+2ex+e^2) [/mm] erschaffen.
Dies schafft durch folgende leicht zu merkende Regel:
nimm das a, und dann: halbieren, quadrieren, addieren.
Weil du dann einen Fehler gemacht hast, musst du das dann wieder abziehn:
[mm]P=x^2+ax+b=x^2+ax+\frac {a^2}4-\frac {a^2}4+b=(x+\frac a2)^2+(b-\frac{a^2}4)[/mm].
So, und nun zum Vektoprodukt
Vorweg: Das Vektorprodukt kann man nicht beweisen, da es eine Operation ist und keine Aussage.
Jedoch: Wenn du eine Aussage per Induktion beweisen willst, geht das prinzipiell mit jeder abzählbaren Menge.
Wenn du also eine Aussage zu beweisen hast für alle [mm]r\in\IR[/mm], dann wirst du das per Induktion nicht schaffen könen.
Sollst du aber eine Aussage zeigen für alle [mm]n_1,n_2,\dots,n_d, n_i\in\IN[/mm], dann kannst du das zeigen, indem du mehrere Induktionsschritte machst, nämlich jeden der Form [mm] n_i\mapsto n_i+1[/mm]. Es reicht dann natürlich ein Induktionsanfang.
Ich hoffe, das hat dir geholfen
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