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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 19.09.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Zeige das für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} [/mm] = [mm] n^{2} (2n^{2} [/mm] -1)
Hinweis: Nutze den Sachverhalt:
[mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] |
Der Beweis soll mittels vollständiger Induktion geführt werde. Diese ist an sich, in ihrer Funktionsweise kein Problem. Es hapert mehr an den rechnerischen Feinheiten und Finessen.
Nachdem ich den Induktionsanfang mit n=1 durchgeführt habe und dann den Induktionsschritt auf n+1 mache komme ich, egal wie ich es drehe und wende nicht auf:
[mm] (n+1)^{2} (2(n+1)^{2} [/mm] -1)
was ja eigentlich das Ziel wäre.
Ausserdem bin ich auf folgendes gestossen das mir zu denken gibt.
Es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2i-1) = [mm] n^{2} [/mm]
Verwendet man das für obige Aufgabe:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} (2i-1))^{2}
[/mm]
= [mm] (n^{2})^{2} [/mm] = [mm] n^{4} \not= (n+1)^{2} (2(n+1)^{2} [/mm] -1)
Ist die Folgerung so richtig oder liege ich da falsch?
Für Lösungshinweise und Vorschläge wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Mi 20.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Vertex
Wieso man die Formel in der Induktion benutzen soll versteh ich nicht.
Die Induktion ist einfach: rechne einfach den Ausdruck [mm](n+1)^{2} (2(n+1)^{2}[/mm] -1) aus und vergleich ihn mit [mm]n^{2} (2n^{2}-1)+(2n+1)^3[/mm]
Dann siehst du , dass beides dasselbe ist.
> Verwendet man das für obige Aufgabe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3}[/mm] = [mm](\summe_{i=1}^{n} (2i-1))^{2}[/mm]
Du kannst nicht ne Formel, die für die Summe aller Zahlen gilt für die Summe der ungeraden Zahlen verwenden!
> = [mm](n^{2})^{2}[/mm] = [mm]n^{4} \not= (n+1)^{2} (2(n+1)^{2}[/mm] -1)
>
> Ist die Folgerung so richtig oder liege ich da falsch?
siehe oben, du liegst falsch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Vertex |
Danke für die Hilfe. Ich habe das Ganze dann folgendermaßen gemacht.
Es ist zu zeigen das
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} [/mm] = [mm] n^{2} (2n^{2} [/mm] -1) (**)
für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Induktionsanfang mit n=1
[mm] \summe_{i=1}^{1} (2i-1)^{3} [/mm] = [mm] (2*1-1)^{3} [/mm] = 1 = [mm] 1^{2} (2*1^{2} [/mm] -1)
Induktionsschritt von n=1 auf n+1, es gelte die Induktionsannahme (**)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (2i-1)^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} [/mm] + [mm] (2(n+1)-1)^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} [/mm] + [mm] (2n+1)^{3}
[/mm]
Einsetzen der Induktionsannahme (**)
= [mm] n^{2} (2n^{2} [/mm] -1) + [mm] (2n+1)^{3} [/mm]
'n bissel umformen :) führt dann auf
= [mm] (n+1)^{2}(2(n+1)^{2}-1)
[/mm]
Das sollte es dann gewesen sein oder?
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Hallo Vertex,
> 'n bissel umformen :)
Das habe ich jetzt nicht nachgeprüft, aber alles Andere und das Prinzip stimmen. 
Grüße
Karl
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