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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 So 07.05.2006 | | Autor: | Alex999H |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n>=24 aus Kombinationen von 5 und 7 zusammengesetzt werden können. |
Hallo,
Ich kann zwar folgende Gleichung aufstellen:
n = 5a + 7b für alle n [mm] \in [/mm] N.
Aber irgendwie komme ich dann mit der Induktion einfach nicht weiter.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Ansatz für die Aufgabe geben könnte.
Gruß,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 So 07.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Was sind a,b denn? Ganze Zahlen oder natürliche?
Schätze mal dass das nicht unwesentlich ist, oder?
Für ganze Zahlen ist das eine Spezialfall des Bezoutlemmas das
man mit dem Euklid Algorithmus bekommt.
In deinem Fall ist es elementar wie folgt zum Bsp.:
n -> n+5 , n-> n+7 sind klare Induktionsschritte
Schreibe 1=5x+7b mit x,y fest (suche dir was)
dann ist n=5a+7b -> n+1 = 5a+7b+5x+7y=5(a+x)+7(b+y).
Das zeigt den Induktionsschluss. Fktn. aber nur wenn wie gesagt
deine a,b in der Darstellung beliebige ganze Zahlen sein dürfen.
Gruss topotyp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 So 07.05.2006 | | Autor: | Alex999H |
Danke für deine schnelle Antwort.
a und b sind natürliche Zahlen.
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Da du ja logischerweise nur natürliche Zahlen einsetzen darfst, musst du nach Einsetzen des Induktionsanfangs n = 24 von (n+1) bis (n+5) die vollständige Induktion durchführen. z.B. für n + 2:
n + 2 = n + (-1 * 5 + 1 * 7)
Einsetzen der Vorbedingung:
= 5a + 5b + (-1 * 5 + 1 * 7) = 5 * (a-1) + 7 * (b+1)
Vereinfacht kannst du natürlich auch einfach die Zahlen von 1 bis 5 als Kombination von 5 und 7 darstellen, wobei doe Vorfaktoren nicht kleiner als (-2) sein dürfen, da 24 = 2*5 + 2*7
Ab (n+6) wiederholt sich alles von neuem, da (n+6) = (n+5) +1, wobei die Darstellung von 5 durch 5 und 7 keine negativen Vorfaktoren enthält, nämlich 1*5 + 0*7
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Alex999H |
topotyp hatte seine Antwort unter der Bedingung gegeben, dass a und b ganze Zahlen sind. Allerdings sind a und b natürliche Zahlen. Funktioniert das dann genauso?
Um das ganze nochmal zu konkretisieren: es soll gezeigt werden, dass man mit 5 und 7 jede natürliche Zahl >= 24 bilden kann.
n = 5a + 7b war nur mein Ansatz, kann auch sein, dass der falsch ist.
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oha, jetzt ist die dritte Frage mit der zweiten Antwort beantwortet worden, ich hoffe das gibt keinen Stress mit den Admins ^^
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