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Hallo
Hab hier folgendes Beispiel bei dem ich nicht weiterkomme
Es sei [mm] a_{n}= \wurzel{2-a_{n-1}}, a_{0}=0
[/mm]
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion daß [mm] a_{n}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}} [/mm] gilt
1.Induktionsanfang n=0
[mm] a_{0}=2cos \bruch{\pi}{2^{0+1}}
[/mm]
0=0 w.A
2.Induktionsannahme
[mm] \wurzel{2-a_{n-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}
[/mm]
3.Induktionsschritt für n+1
[mm] \wurzel{2-a_{n+1-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}
[/mm]
als Hinweis steht Verwenden sie die Beziehung cos [mm] \alpha=\wurzel{\bruch{1+cos2 \alpha}{2}}
[/mm]
dann hätte ich
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{2 \pi}{2^{n+1+1}}}{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}
[/mm]
jetzt den 2er unter die Wurzel bringen
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{\bruch{4+4cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+2cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}
[/mm]
jetzt die Annahme einsetzten
[mm] \wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+\wurzel{2-a_{n-1}}} [/mm] jetzt einmal quadrieren
[mm] 2-a_{n}=2+\wurzel{2-a_{n-1}}
[/mm]
[mm] a_{n}=\wurzel{2-a_{n-1}} [/mm] stimmt das so
und dann noch eine Frage wenn jetzt noch gefragt ist ob die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert kann ich da gleich den einfachen Weg gehen und über die bewiesene Formel [mm] a_{n} [/mm] den Grenzwert bestimmen oder muss ich es über die Beschränktheit mit der rekursiven Formel beweisen
Danke Stevo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 10.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo stevarino
Dein Vorgehen ist prinzipiell falschrum: du schreibst die Behauptung für n+1 hin, und beweisest, dass dann die Vors. gilt. Das ginge, wenn jeder Schritt eine Äquivalenzumformung wäre, dann könnte man ja das ganze umdrehen, und käme von der vors zur Behauptung. Aber deinen vorletzten Schritt kann man nicht umkehren, du bekommst ja auch eigentlich [mm] -a_{n}!
[/mm]
Besser fang an mit
2.Induktionsannahme
> [mm]\wurzel{2-a_{n-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2-a_{n}} [/mm]
setz die Induktionsannahme, [mm] a_{n}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}} [/mm] ein, erweitere [mm] \bruch{\pi}{2^{n+1}} [/mm] mit 2, zieh dann 2 aus der Wurzel und wend die Formel für [mm] cos\alpha [/mm] an und schon bist du direkt fertig.
Für die Konvergenz kannst du natürlich die bewiesene Formel anwenden.
Gruss leduart
> 3.Induktionsschritt für n+1
> [mm]\wurzel{2-a_{n+1-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
>
>
> als Hinweis steht Verwenden sie die Beziehung cos
> [mm]\alpha=\wurzel{\bruch{1+cos2 \alpha}{2}}[/mm]
> dann hätte ich
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{2 \pi}{2^{n+1+1}}}{2}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> jetzt den 2er unter die Wurzel bringen
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{\bruch{4+4cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+2cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}[/mm]
>
> jetzt die Annahme einsetzten
> [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+\wurzel{2-a_{n-1}}}[/mm] jetzt
> einmal quadrieren
> [mm]2-a_{n}=2+\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm]
> [mm]a_{n}=\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm] stimmt das so
>
> und dann noch eine Frage wenn jetzt noch gefragt ist ob die
> Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert kann ich da gleich den einfachen
> Weg gehen und über die bewiesene Formel [mm]a_{n}[/mm] den Grenzwert
> bestimmen oder muss ich es über die Beschränktheit mit der
> rekursiven Formel beweisen
>
> Danke Stevo
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> Hallo stevarino
> Dein Vorgehen ist prinzipiell falschrum: du schreibst die
> Behauptung für n+1 hin, und beweisest, dass dann die Vors.
> gilt. Das ginge, wenn jeder Schritt eine
> Äquivalenzumformung wäre, dann könnte man ja das ganze
> umdrehen, und käme von der vors zur Behauptung. Aber deinen
> vorletzten Schritt kann man nicht umkehren, du bekommst ja
> auch eigentlich [mm]-a_{n}![/mm]
> Besser fang an mit
> 2.Induktionsannahme
> > [mm]\wurzel{2 [red] - [/red]a_{n-1}}=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm] ich hab noch nicht ganz verstanden wie man hier auf das Minus kommt?
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2-a_{n}}[/mm]
> setz die Induktionsannahme, [mm]a_{n}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm]
> ein, erweitere [mm]\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm] mit 2, zieh dann 2 aus
> der Wurzel und wend die Formel für [mm]cos\alpha[/mm] an und schon
> bist du direkt fertig.
> Für die Konvergenz kannst du natürlich die bewiesene
> Formel anwenden.
> Gruss leduart
>
> > 3.Induktionsschritt für n+1
> > [mm]\wurzel{2-a_{n+1-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> >
> >
> > als Hinweis steht Verwenden sie die Beziehung cos
> > [mm]\alpha=\wurzel{\bruch{1+cos2 \alpha}{2}}[/mm]
> > dann hätte
> ich
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{2 \pi}{2^{n+1+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > jetzt den 2er unter die Wurzel bringen
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{\bruch{4+4cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+2cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}[/mm]
> >
>
> > jetzt die Annahme einsetzten
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+\wurzel{2-a_{n-1}}}[/mm] jetzt
> > einmal quadrieren
> > [mm]2-a_{n}=2+\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm]
> > [mm]a_{n}=\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm] stimmt das so
> >
> > und dann noch eine Frage wenn jetzt noch gefragt ist ob die
> > Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert kann ich da gleich den einfachen
> > Weg gehen und über die bewiesene Formel [mm]a_{n}[/mm] den Grenzwert
> > bestimmen oder muss ich es über die Beschränktheit mit der
> > rekursiven Formel beweisen
> >
> > Danke Stevo
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> > Besser fang an mit
> > 2.Induktionsannahme
> > > [mm]\wurzel{2 [red]- [/red]a_{n-1}}=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm] ich hab noch
> nicht ganz verstanden wie man hier auf das Minus kommt?
Hallo,
das "minus" kommt, weil die Folge so definiert ist.
Es ist doch zu beweisen, daß [mm] a_n=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}} [/mm] gilt.
Und [mm] a_n [/mm] kriegt man aus [mm] a_{n-1} [/mm] so: [mm] a_n=\wurzel{2 - a_{n-1}}, [/mm] die Rekursionsvorschrift.
Gruß v. Angela
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> Hallo stevarino
> Dein Vorgehen ist prinzipiell falschrum: du schreibst die
> Behauptung für n+1 hin, und beweisest, dass dann die Vors.
> gilt. Das ginge, wenn jeder Schritt eine
> Äquivalenzumformung wäre, dann könnte man ja das ganze
> umdrehen, und käme von der vors zur Behauptung. Aber deinen
> vorletzten Schritt kann man nicht umkehren, du bekommst ja
> auch eigentlich [mm]-a_{n}![/mm]
> Besser fang an mit
> 2.Induktionsannahme
> > [mm]\wurzel{2 - a_{n-1}}=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm]
[mm]a_{n+1}=\wurzel{2-a_{n}}[/mm] Hab mich vorher in der Zeile vertan wie kommt man auf diesen Ausdruck????
>
> setz die Induktionsannahme, [mm]a_{n}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm]
> ein, erweitere [mm]\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm] mit 2, zieh dann 2 aus
> der Wurzel und wend die Formel für [mm]cos\alpha[/mm] an und schon
> bist du direkt fertig.
> Für die Konvergenz kannst du natürlich die bewiesene
> Formel anwenden.
> Gruss leduart
>
> > 3.Induktionsschritt für n+1
> > [mm]\wurzel{2-a_{n+1-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> >
> >
> > als Hinweis steht Verwenden sie die Beziehung cos
> > [mm]\alpha=\wurzel{\bruch{1+cos2 \alpha}{2}}[/mm]
> > dann hätte
> ich
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{2 \pi}{2^{n+1+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > jetzt den 2er unter die Wurzel bringen
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{\bruch{4+4cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+2cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}[/mm]
> >
>
> > jetzt die Annahme einsetzten
> > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+\wurzel{2-a_{n-1}}}[/mm] jetzt
> > einmal quadrieren
> > [mm]2-a_{n}=2+\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm]
> > [mm]a_{n}=\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm] stimmt das so
> >
> > und dann noch eine Frage wenn jetzt noch gefragt ist ob die
> > Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert kann ich da gleich den einfachen
> > Weg gehen und über die bewiesene Formel [mm]a_{n}[/mm] den Grenzwert
> > bestimmen oder muss ich es über die Beschränktheit mit der
> > rekursiven Formel beweisen
> >
> > Danke Stevo
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> > 2.Induktionsannahme
> > > [mm] \wurzel{2 - a_{n-1}}=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}
[/mm]
> [mm] a_{n+1}=\wurzel{2-a_{n}} [/mm] Hab mich vorher in der Zeile
> vertan wie kommt man auf diesen Ausdruck????
Huch,
ich glaube, wir müssen etwas weiter ausholen, da hat irgendeine Verwirrung eingesetzt.
Sortieren wir also ein bißchen.
Gegeben ist eine Folge [mm] (a_n), [/mm] rekursiv definiert durch [mm] a_0:=0, a_n= \wurzel{2-a_{n-1}} [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Behauptet wird nun folgendes:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] a_n=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}
[/mm]
Beweisen möchtest Du diese Behauptung mit vollständiger Induktion.
Induktionsanfang n=0:
Es ist [mm] a_0=0=2cos\bruch{\pi}{2^{0+1}}.
[/mm]
Nun der Induktionsschluß n [mm] \to [/mm] n+1:
Es gelte [mm] a_n=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zu zeigen:
Dann ist [mm] a_{n+1}=2cos\bruch{\pi}{2^{n+2}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Beweis:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und gelte [mm] a_n=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}.
[/mm]
Es ist [mm] a_{n+1}= [/mm] ... [mm] =2cos\bruch{\pi}{2^{n+2}}
[/mm]
Das möglichst richtige Ausfüllen von ... ist die Aufgabe, die nun erledigt werden will.
Um [mm] a_{n+1} [/mm] zu "fassen" zu kriegen, wird man nicht umhinkommen, die Rekursion zu verwenden, also [mm] a_{n+1}= \wurzel{2-a_{(n+1)-1}}.
[/mm]
Und dann muß man unbedingt die Induktionsvoraussetzung, [mm] a_n=2cos\bruch{\pi}{2^{n+1}}, [/mm] mit verarbeiten.
In der großen Hoffnung, mehr Klarheit als Unklarheit verursacht zu haben,
Gruß v. Angela
> >
> > setz die Induktionsannahme, [mm]a_{n}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm]
> > ein, erweitere [mm]\bruch{\pi}{2^{n+1}}[/mm] mit 2, zieh dann 2 aus
> > der Wurzel und wend die Formel für [mm]cos\alpha[/mm] an und schon
> > bist du direkt fertig.
> > Für die Konvergenz kannst du natürlich die bewiesene
> > Formel anwenden.
> > Gruss leduart
> >
> > > 3.Induktionsschritt für n+1
> > > [mm]\wurzel{2-a_{n+1-1}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2cos \bruch{\pi}{2^{n+1+1}}[/mm]
> > >
> > >
> > > als Hinweis steht Verwenden sie die Beziehung cos
> > > [mm]\alpha=\wurzel{\bruch{1+cos2 \alpha}{2}}[/mm]
> > > dann
> hätte
> > ich
> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{2 \pi}{2^{n+1+1}}}{2}}[/mm]
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> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=2\wurzel{\bruch{1+cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
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> > > jetzt den 2er unter die Wurzel bringen
> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{\bruch{4+4cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}{2}}[/mm]
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> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+2cos \bruch{ \pi}{2^{n+1}}}[/mm]
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> > > jetzt die Annahme einsetzten
> > > [mm]\wurzel{2-a_{n}}=\wurzel{2+\wurzel{2-a_{n-1}}}[/mm] jetzt
> > > einmal quadrieren
> > > [mm]2-a_{n}=2+\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm]
> > > [mm]a_{n}=\wurzel{2-a_{n-1}}[/mm] stimmt das so
> > >
> > > und dann noch eine Frage wenn jetzt noch gefragt ist ob die
> > > Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert kann ich da gleich den einfachen
> > > Weg gehen und über die bewiesene Formel [mm]a_{n}[/mm] den Grenzwert
> > > bestimmen oder muss ich es über die Beschränktheit mit der
> > > rekursiven Formel beweisen
> > >
> > > Danke Stevo
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