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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Lethor |
| Aufgabe | | Sei [mm] A= \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] A^{n} = A*A*A....*A [/mm] das ganze eben n mal. Beiweisen sie durch vollständige Induktion, dass [mm] A^{n} = \pmat{ 2^{n} & 2^{n}-1 \\ 0 & 1 } [/mm] für alle [mm] n \in N \setminus 0 [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
ich habe gerade meine Klausur in Grundlagen der Mathematik geschrieben und mich hat dort eine Aufgabe etwas stutzig gemacht und das lässt mich gerade nicht mehr los.
Also der Anfang mit [mm] n_{0} = 1 [/mm] gilt. Jetzt habe ich im Schritt vorrausgesetzt dass obiger Ausdruck gilt und somit [mm] A^{n+1} = A * A^{n} [/mm] gelten muss.
Rechne ich nun aber [mm] A * A^{n} [/mm] komme ich nicht auf [mm] A^{n+1} = \pmat{ 2^{n+1} & 2^{n+1}-1 \\ 0 & 1 } [/mm] sondern auf
[mm] \pmat{ 2^{n+1} & 2^{n}+(2^{n}-1) \\ 0 & 1 } [/mm].
Habe ich mich da irgendwo verrechnet oder einen Denkfehler? Oder ist es tatsächlich so das der Ausdruck [mm] A^{n} = \pmat{ 2^{n} & 2^{n}-1 \\ 0 & 1 } [/mm] falsch ist?
Also wenn ich einzelne werte aus [mm] N [/mm] in [mm] A^{n} = \pmat{ 2^{n} & 2^{n}-1 \\ 0 & 1 } [/mm] einsetze stimmt das ganze schon aber wenn ich [mm] A * A^{n} [/mm] rechne komme ich halt auf was anderes.
Mit freundlichem Gruß
Jan
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Hallo,
leider klappt das Zitieren im Internet-Explorer gerade mal wieder nicht, wie ich soeben festgestellt habe.
Daher kurz und bündig:
Der Induktionsanfang mit n=1 ist in meinen Augen nicht so glücklich gewählt, er sagt ja nur aus, dass A selbst auch die geforderte Gestalt hat. Hier wäre in meinen Augen n=2 besser gewesen.
Ansonsten ist es ganz einfach: es ist
[mm] 2^n+2^n=2*2^n=2^{n+1}
[/mm]
Wenn du das noch anwendest, bist du fertig.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Lethor |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. In dem Fall habe ich bei der Aufgabe offiziell versagt. Mir ist nicht eingefallen dass [mm] 2^{n}+2^{n} = 2*2^{n} [/mm] ist...
Gruß Jan
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