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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 27.10.2005 | | Autor: | t1no |
Hallo!
Muss folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion beweisen:
"Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist (3n)! durch [mm] (3!)^{n} [/mm] teilbar"
Durch den dritten Schritt der vollst. Induktion steht da ja dann folgendes da:
(3(m+1))! ist durch [mm] (3!)^{m+1} [/mm] teilbar.
(3(m+1))! habe ich dann umgeschrieben in :
(3(m+1))! [mm] \Rightarrow [/mm] (3m+3)! = (3m+3)(3m+2)(3m+1)3m!
Von der 3m! weiss ich ja bereits durch die Annahme (,die ich hier nicht aufgeschrieben habe), dass sie durch [mm] (3!)^{m} [/mm] teilbar ist.
Jetzt müsste ich halt nur noch zeigen, dass (3m+3)(3m+2)(3m+1) ebenfalls durch [mm] (3!)^{n} [/mm] teilbar ist.
Hoffe meine Schritte bis hierhin waren richtig, bitte um einen kleinen Denkanstoß!
Dankeschön
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Do 27.10.2005 | | Autor: | t1no |
Hi,
Danke für die gute Antwort :)
Also folgendes:
$ (3m+3)(3m+2)(3m+1) $ ausmultipliziert ergibt dann nach ein paar Zwischenschritten:
$ [mm] 27m^{3} [/mm] + [mm] 54m^{2} [/mm] + 33m + 6 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] 3(9m^{3} [/mm] + [mm] 18m^{2} [/mm] + 11m + 2) $
Somit hab ich schonmal gezeigt, dass es durch 3 teilbar ist!
Nimmt man sich jetzt den Term in der Klammer, steht da folgendes:
$ [mm] 9m^{3} [/mm] + [mm] 18m^{2} [/mm] + 11m + 2 $
Ich würde das jetzt so erklären, dass dieser Term insgesamt gerade ist, also dann auch durch 2 teilbar:
Die $2$ und die [mm] $18m^{2}$ [/mm] sind ja auf jeden fall gerade.
die [mm] $9m^{3}$ [/mm] addiert mit der $11m$ ergeben auch eine gerade Zahl, da sie entweder beide gerade oder ungerade sind, und somit zusammen immer eine gerade Zahl ergeben.
Der komplette Ausdruck müsste dann durch $2$ teilbar sein, was mit der $3$ multipliziert die fehlende $6$ ergibt :)
Hoffe das reicht so als Begründung??
Werde übers Wochenende erneut Hilfe benötigen !
Schönen Abend noch!
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo tino,
> Hi,
> Danke für die gute Antwort :)
> Also folgendes:
>
> [mm](3m+3)(3m+2)(3m+1)[/mm] ausmultipliziert ergibt dann nach ein
> paar Zwischenschritten:
Hier machst du dir die Arbeit aber erheblich schwerer als nötig.
Du hast doch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen. Von diesen ist eine durch 3 teilbar und mindestens eine durch 2 teilbar.
Damit ist das Produkt durch 6 teilbar.
>
> [mm]27m^{3} + 54m^{2} + 33m + 6[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]3(9m^{3} + 18m^{2} + 11m + 2)[/mm]
>
> Somit hab ich schonmal gezeigt, dass es durch 3 teilbar
> ist!
>
> Nimmt man sich jetzt den Term in der Klammer, steht da
> folgendes:
>
> [mm]9m^{3} + 18m^{2} + 11m + 2[/mm]
>
> Ich würde das jetzt so erklären, dass dieser Term insgesamt
> gerade ist, also dann auch durch 2 teilbar:
> Die [mm]2[/mm] und die [mm]18m^{2}[/mm] sind ja auf jeden fall gerade.
> die [mm]9m^{3}[/mm] addiert mit der [mm]11m[/mm] ergeben auch eine gerade
> Zahl, da sie entweder beide gerade oder ungerade sind, und
> somit zusammen immer eine gerade Zahl ergeben.
> Der komplette Ausdruck müsste dann durch [mm]2[/mm] teilbar sein,
> was mit der [mm]3[/mm] multipliziert die fehlende [mm]6[/mm] ergibt :)
>
> Hoffe das reicht so als Begründung??
Die Begründung ist sicher korrekt. Ich persönlich hätte die Fallunterscheidung mit m gerade und m ungerade gemacht, um zu begründen, dass die beiden Summanden 9 [mm] m^3 [/mm] und 11 m entweder beide gerade oder beide ungerade sind.
Aber, wie gesagt, bequemer geht's, wenn du nicht ausklammerst.
Gruß
Sigrid
> Werde übers Wochenende erneut Hilfe benötigen !
> Schönen Abend noch!
> Ciao
>
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Das stimmt nicht ganz! Du musst zeigen, dass dieses Produkt durch [mm] $(3!)^{\red{1}} [/mm] \ = \ [mm] 6^{\red{1}} [/mm] \ = \ 6$ teilbar ist, denn durch Zusammenfassen gemäß 
Potenzgesetz