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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 16.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass die Gleichung x² + y² = [mm] z^{n} [/mm] für jede fest gewählte natürliche Zahl n unendlich viele Lösungen x,y,z [mm] \in \IN [/mm] besitzt.
Den Induktionsschritt und Schluss hab ich schon, mir fehlt nur noch der Induktionsanfang, bei dem ich bis jetzt sage für n=1 bekomme ich x²+y²=z und daraus folgt x,y,z sind beliebig, aber irgendwie fehlt da was. Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Mo 17.10.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Phoebe!
> Hallo, ich soll durch vollständige Induktion beweisen,
> dass die Gleichung x² + y² = [mm]z^{n}[/mm] für jede fest gewählte
> natürliche Zahl n unendlich viele Lösungen x,y,z [mm]\in \IN[/mm]
> besitzt.
> Den Induktionsschritt und Schluss hab ich schon, mir fehlt
> nur noch der Induktionsanfang, bei dem ich bis jetzt sage
> für n=1 bekomme ich x²+y²=z und daraus folgt x,y,z sind
> beliebig, aber irgendwie fehlt da was. Kann mir vielleicht
> jemand helfen?
Aber daß die Gleichung x²+y²=z unendlich viele Lösungen hat, ist doch sonnenklar: Ich nehme einfach ein festes x, z. B. x = 1, und lasse y alle natürlichen Zahlen durchlaufen. Die unendlich vielen Tripel (1, y, y²+1) sind Lösungen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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