Vollständige Indukion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo! Ich habe ein Problem. Ich muss eine Facharbeit über das Beweisverfahren der vollstänidgen Induktion erstellen. Ich habe mich bereits im Internet schlau gemacht und habe mir auch 2 Bücher, in denen ein bißchen zu dem Thema steht, ausgeliehen. Jedoch ist das alles so kompliziert erklärt, so dass ich nur noch am verzweifeln bin. Bin ich zu doof oder ist das Thema so schwer, dass man es nicht einfacher formulieren kann??? Nun die Frage an euch: Kennt jemand sich damit aus? Kennt jemand einfach formulierte Internet Seiten oder Bücher? oder kann mir jemand etwas darüber erzählen?
Ich danke für jede Antwort
Mfg Harrypotter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Harrypotter!
> Hallo! Ich habe ein Problem. Ich muss eine Facharbeit über
> das Beweisverfahren der vollstänidgen Induktion erstellen.
> Ich habe mich bereits im Internet schlau gemacht und habe
> mir auch 2 Bücher, in denen ein bißchen zu dem Thema steht,
> ausgeliehen. Jedoch ist das alles so kompliziert erklärt,
> so dass ich nur noch am verzweifeln bin. Bin ich zu doof
> oder ist das Thema so schwer, dass man es nicht einfacher
> formulieren kann??? Nun die Frage an euch: Kennt jemand
> sich damit aus? Kennt jemand einfach formulierte Internet
> Seiten oder Bücher? oder kann mir jemand etwas darüber
> erzählen?
> Ich danke für jede Antwort
> Mfg Harrypotter
Auskennen dürfte sich damit jeder, der mindestens ein paar Wochen Mathe studiert hat  und eigentlich ist es recht einfach. Aber wenn man als Schüler nicht mal vernünftige Erklärungen hat, kann ich mir vorstellen, dass es etwas schwierig ist. Das Prinzip ist eigentlich nur, dass du davon ausgehst, dass eine Aussage für einen gewissen Wert n gilt, und dann zeigst, dass sie auch für n+1 gilt. Da du dann im nächsten Schritt annehmen kannst, dass sie für n+1 gilt (das hast du ja gerade gezeigt), hast du damit aber quasi auch gezeigt, dass sie für n+2 gilt (denn von n zu n+1 geht genauso wie von n+1 zu n+2) usw. Das heißt, damit hast du gezeigt, dass sie für alle Werte gilt.
Eine kleine Sache fehlt noch, und zwar braucht man noch den Induktionsanfang, damit man überhaupt davon ausgehen kann, dass die Aussage für n gilt. Aber der Induktionsanfang ist meistens das einfachste. 
Ich weiß nicht, ob dir das jetzt hilft, hab' es leider doch nicht so schön ausdrücken können, wie ich wollte. Deswegen hier noch ein kleines Beispiel:
zu zeigen: [mm] \summe_{i=0}^ni=\br{n(n+1)}{2}
[/mm]
Induktionsanfang (meist nimmt man 0, wenn das nicht definiert ist, dann halt 1):
also: n=0
dann steht in der Summe: [mm] \summe_{i=0}^0i=0
[/mm]
und auf der rechten Seite steht: [mm] \br{0*1}{2}=0
[/mm]
also gilt die Gleichung, die zu zeigen ist, für n=0 (denn linke und rechte Seite sind ja gleich )
Nehmen wir also an, die Aussage gilt für alle n (das nennt man Induktionsvoraussetzung). Jetzt müssen wir zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt (das nennt man den Induktionsschritt).
Wir setzen also in die linke Summe für n einfach n+1 ein und müssen zeigen, dass dann auf der rechten Seite rauskommt: [mm] \br{(n+1)(n+1+1)}{2} [/mm] (denn das ergibt sich, wenn man rechts für n einfach n+1 einsetzt!). Also:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}i
[/mm]
eine Summe kann man natürlich aufteilen in mehrere Summanden (bzw. sie besteht natürlich aus mehreren Summanden, aber man kann sie in mehrere Summenzeichen aufteilen, also allgemein gilt: [mm] $\summe_{i=0}^ni=\summe_{i=0}^{k}i+\summe_{i=k+1}^ni$). [/mm] In unserem Fall wollen wir den letzten Summand "abspalten", also den für i=n+1. Dann haben wir:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}i=\summe_{i=0}^{n}i+(n+1)
[/mm]
Nun wissen wir ja, dass die Aussage für n gilt, und das können wir auf die Summe im Summenzeichen anwenden (denn da steht ja jetzt nur noch n anstatt wie vorher n+1). Wir benutzen also die Induktionsvoraussetzung und setzen die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung für die Summe unter dem Summenzeichen ein
[mm] \summe_{i=0}^{n}i+(n+1)=\br{n(n+1)}{2}+(n+1)
[/mm]
Und jetzt müssen wir das Ganze nur noch so umformen, das da [mm] \br{(n+1)(n+1+1)}{2} [/mm] steht, denn das müssen wir ja zeigen für n+1. Also machen wir das mal:
[mm] \br{n(n+1)}{2}+n+1=\br{n(n+1)}{2}+\br{2(n+1)}{2}=\br{(n+2)(n+1)}{2}=\br{(n+1)(n+1+1)}{2}
[/mm]
Und damit haben wir die Gleichung für alle n gezeigt!
Hoffe, das hilft ein bisschen, ansonsten findest du hier im Forum viele Aufgaben mit Erklärungen zur vollständigen Induktion, benutze doch mal die Suchfunktion.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Aufgabe | Beweise durch vollständige Indukion
1³+2³+3³+...+n³=(n(n+1)Bruchstrich 2)² |
Erstmal danke für die Antworten. Dieses Forum ist wirklich gut und schnell.
Ich wollte jetzt mal ein Beispiel rechnen(s.o.). Ich habe auch schon angefangen weiß nur nicht mehr weiter und wollte fragen, ob das bis dahin überhaupt richtig ist:
Meine Ansätze:
Induktionsanfang:
für n=1 ist die Aussage wahr, denn 1³=(1(1+1)Bruchstrich 2)²
Induktionsschritt:
Wenn 1³+2³+3³+...+k³=(k(k+1)Bruchstrich 2)² ist,
dann 1³+2³+3³+...+(k+1)³=((k+1)*((k+1)+1))Bruchstrich 2)².
Induktionsannahme:
Es sei 1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=(k(k+1)bruchstrich 2)²
Was muss ich jetzt machen, um die Annahme zu bestätigen.
Danke schon mal im Voraus.
P.S.: Wie macht man ein Bruchstrich ;)
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Hallo Harrypotter!
Siehe in die Eingabehilfen unter dem Eingabefenster, um einen Bruchstrich darzustellen oder klicke auf meine Bruchstriche.
> Beweise durch vollständige Indukion
> 1³+2³+3³+...+n³=(n(n+1)Bruchstrich 2)²
> Erstmal danke für die Antworten. Dieses Forum ist wirklich
> gut und schnell.
>
> Ich wollte jetzt mal ein Beispiel rechnen(s.o.). Ich habe
> auch schon angefangen weiß nur nicht mehr weiter und wollte
> fragen, ob das bis dahin überhaupt richtig ist:
> Meine Ansätze:
>
> Induktionsanfang:
> für n=1 ist die Aussage wahr, denn 1³=(1(1+1)Bruchstrich
> 2)²
>
> Induktionsschritt:
>
> Wenn 1³+2³+3³+...+k³=(k(k+1)Bruchstrich 2)² ist,
> dann 1³+2³+3³+...+(k+1)³=((k+1)*((k+1)+1))Bruchstrich
> 2)².
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> Induktionsannahme:
> Es sei 1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=(k(k+1)bruchstrich 2)²
>
> Was muss ich jetzt machen, um die Annahme zu bestätigen.
Du musst die Induktionsvoraussetzung einsetzen. Und zwar kennst du doch die Aussage für k, und die Aussage für k+1 kannst du doch so "umschreiben":
[mm] 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1^3+2^3+...+k^3)+(k+1)^3
[/mm]
und für die erste Klammer setzt du die Voraussetzung ein.
Viele Grüße
Bastiane
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Ok das habe ich jetzt verstanden, also :
[mm] \br{k(k+1)²}{2}+(k+1)³
[/mm]
und wie forme ich das dann um:
so: [mm] \br{k²(k+1)²}{2}+\br{2(k+1)³}{2} [/mm] und wie gehts dann weiter?
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Hallo Harrypotter,
> Ok das habe ich jetzt verstanden, also :
> [mm]\br{k²(k+1)²}{2}+\br{2(k+1)³}{2}[/mm]
Hier sollte schon die zu beweisende Aussage und keine Andere benutzt werden:
[mm]\frac{k^2(k+1)^2}{\red{4}}+\frac{2(k+1)^3}{2}[/mm]
Entsprechend sollte der 2te Summand anders erweitert werden, damit's dann auch mit der binomischen Formel klappt.
Grüße
Karl
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Oh ja da hab ich mich vertan.
Hab das jetzt mal verbessert:
[mm] \br{k²(k+1)²}{4}+\br{4(k+1)³}{4}
[/mm]
so dann:
[mm] \br{k²(k+1)(k-1)}{4}+\br{4(k+1)³}{4}
[/mm]
wie fass ich das jetzt am besten zusammen?
auf welches Endergebnis muss ich am Ende kommen?
Danke!
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Ich danke allen! Ich habe jetzt das richtige Ergebnis raus!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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SchulMatheFAQ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
