Vollst. Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Ronin |
Hi,
ich soll die Binomische Formel mittels Induktion beweisen und komm net recht weiter
Also die Bin Formel sieht ja so aus
[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{(n-k)!*k!}*n^{n-k}*b^k
[/mm]
Ich denke mein Problem besteht darin dass auf der rechten seite in der summe sowohl k als auch n vorkommt... ich hab ein paar vorgehensweisen probiert und bin zu keinem erg gekommen.
ich denke dass man beides, n und k im Induktionsschritt durch (n+1) ersetzen muss oder ist das bereits falsch???
wenn ich das tue dann komm ich auf [mm] (a+b)^n+b^{n+1} [/mm] und es soll eigentlich (a+b)^(n+1) also [mm] a*(a+b)^n+b*(a+b)^n [/mm] rauskommen irgendwelche ideen
danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Ronin |
Ich weiss da ist ein schreibfehler drinn den ich aber beim rechnen nicht gemacht habe
es muss heissen
[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{(n-k)!*k!}*a^{n-k}*b^k
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ronin!
Vielleicht schaust du dir einfach mal diese Diskussion hier an.
> Ich denke mein Problem besteht darin dass auf der rechten
> seite in der summe sowohl k als auch n vorkommt... ich hab
> ein paar vorgehensweisen probiert und bin zu keinem erg
> gekommen.
>
> ich denke dass man beides, n und k im Induktionsschritt
> durch (n+1) ersetzen muss oder ist das bereits falsch???
Das ist falsch. Nur n.
> wenn ich das tue dann komm ich auf [mm](a+b)^n+b^{n+1}[/mm] und es
> soll eigentlich (a+b)^(n+1) also [mm]a*(a+b)^n+b*(a+b)^n[/mm]
> rauskommen irgendwelche ideen
Schau dir die Lösung mal an und versuche es dann selbst für dich noch einmal aufzuschreiben. Frage gegebenenfalls nach. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Ronin |
joa hab mir das ganze jetzt ne weile durchgelesen und probiert aber irgendwie klappts no net
Als erstes versteh ich schonmal nicht warum alle immer die summe beibehalten und das [mm] (a+b)^n [/mm] durch diese ersetzen und nicht andersrum...
Geht das nicht???? Muss doch aber eigentlich... ich seh jedenfalls keinen Grund warum es nicht gehen soll da ja beides äquivalent ist
zur erläuterung :
Ich bin jetzt soweit...
für n=0 hab ich gezeigt und ich setze voraus dass
[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k
[/mm]
also dann fang ich an und sage
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k
[/mm]
=( [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k [/mm] ) + [mm] \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k
[/mm]
und wegen [mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k
[/mm]
= [mm] (a+b)^n [/mm] + [mm] \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k
[/mm]
jo und dann gehts net weiter
hab versucht des irgendwie umzuwurschdeln mit
[mm] \vektor{n+1 \\ k}= \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k}
[/mm]
aber s wird nix
der Ansatz muss doch aber richtig sein
ich mein genau so hab ich diverse andere Induktionsaufgaben gelöst....
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 08.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also dann fang ich an und sage
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]
>
> =( [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}*b^k[/mm] ) +
> [mm]\vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]
falsch! und das müsstest du sehen! [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] kann nicht nur 1 term länger sein als [mm] (a+b)^{n} [/mm] !
( [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n-k}*b^k[/mm] ) +
[mm]\vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}*b^k[/mm]
jetzt kannst du, wenn du unbedingt so vorgehen willst auf [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] deine Formel loslassen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 08.12.2005 | | Autor: | Ronin |
hmmm das wird wohl nix
der term wird immer hässlicher
das ist komplett falsch oder???
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k-1}a^{n-k}*b^k+ \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}a^{n-k}*b^k+ \vektor{n \\ k-1}a^{n+1-k}*b^k+\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}*b^k
[/mm]
und dann
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k-1}a^{n-k}*b^k+ (a+b)^n+ \vektor{n \\ k-1}a^{n+1-k}*b^k+\vektor{n \\ k}a^{n+1-k}*b^k
[/mm]
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Achtung, du hast die Summe falsch auseinander gezogen. Benutze zuerst deine Formel $ [mm] \vektor{n+1 \\ k}= \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k} [/mm] $ in der Summe, und ziehe diese dann auseinander:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{(n+1) \\ k} a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] ( [mm] \vektor{n \\ k-1 } [/mm] + [mm] \vektor{ n \\ k })\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k-1 }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n+1-k}\cdot{}b^k [/mm] $
Jetzt siehst du das in der linken Summe für k = n+1 der Summand Null ist wegen [mm] \vektor{ n \\ n+1 } [/mm] = 0, also kannst du die Summe auf k=0 bis n verringern. Ausserdem kannst du ein a herausziehen um dann auf die Formel nach Induktionsvoraussetzung zu gelangen.
Bei der rechten Summe ist für k=0 der Summand Null wegen [mm] \vektor{ n \\ -1 } [/mm] = 0, also summierst du nur noch über k=1 bis n+1. Nun verschiebst du den Index um 1, d.h. du summierst von k=0 bis n und tauscht in der Summe jedes k durch k+1 aus. Dann kannst du wieder ein b herausziehen aus der Summe und erhältst damit auch dort wieder die Summe wie in der IV. Damit erhältst du dann folgendes:
= $ [mm] a\cdot{}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k [/mm] + [mm] b\cdot{}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k }\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^k \underbrace{=}_{IV} a(a+b)^n [/mm] + [mm] b(a+b)^n [/mm] = [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] $
Fertig :)
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