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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 01.11.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | (i) Keine Primzahl ist vollkommen.
(ii) Ist p eine Primzahl, so kann [mm] p^\alpha [/mm] mit [mm] \alpha \in \IN [/mm] keine vollkommene Zahl sein.
(iii) Wenn p und q verschiedene Primzahlen mit p,q > 2 sind, ist n = [mm] p^{\alpha} \cdot q^{\beta} [/mm] mit [mm] \alpha, \beta \in \IN [/mm] nicht vollkommen.
(iv) Ist diese Aussage immer noch richtig, wenn man die Bedingung p, q > 2 weglässt? |
Hallo,
ich brauche nochmal Hilfe bei obigen Beweisen.
Wenn ich es richtig verstanden habe , ist eine vollkommene Zahl eine Zahl, die gleichzeitig ihre eigene echte Teilersumme (alle Teiler außer sich selbst aufsummiert) ist.
Wie kann ich jetzt folgende Beweise ausführen?
Für die echte Teilersumme einer Zahl gilt ja stets: [mm] \sigma(n) [/mm] = [mm] \sigma^{\*}(n) [/mm] - n , wobei [mm] \sigma^{\*}(n) [/mm] die Teilersumme mit der Zahl selbst eingeschlossen ist.
Nun ist doch die echte Teilersumme bei einer Primzahl immer 1. Es erscheint logisch, dass somit keine Primzahl vollkommen sein kann, aber wie kann ich es mathematisch formulieren?
für die (ii) und die (iii) sind mir die Zusammenhänge bekannt:
[mm] \sigma^{\*}(p^\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{p^{\alpha+1} - 1}{p-1}
[/mm]
[mm] \sigma^{\*}(pq) [/mm] = [mm] \sigma^{\*}(p) \cdot \sigma^{\*}(q)
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Beweise antreten kann.
Bin daher für Anregungen sehr dankbar.
Viele Grüße,
MattiJo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 01.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1. die Teilersumme ist [mm] 1\ne [/mm] p fertig.
zu 2 du kannst die Teilersumme ausrechnen und fesstellen ungleich p bzw teilbar, also nicht prim deine Formel ist noch falsch, du summierst ja nur bis [mm] \alpha-1
[/mm]
zu 3 wie 2
zu 4 gegenbsp 2*3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 01.11.2012 | | Autor: | MattiJo |
> Hallo
> zu 1. die Teilersumme ist [mm]1\ne[/mm] p fertig.
> zu 2 du kannst die Teilersumme ausrechnen und fesstellen
> ungleich p bzw teilbar, also nicht prim deine Formel ist
> noch falsch, du summierst ja nur bis [mm]\alpha-1[/mm]
> zu 3 wie 2
> zu 4 gegenbsp 2*3
Wie kann ich denn bei (iii) die Teilersumme berechnen?
Habe ja [mm] n=p^{\alpha}q^{\beta}, [/mm] also hier das Produkt zweier Nicht-Primzahlen. Die kann ich ja nicht einfach nach der Formel in ein Produkt zweier Teilersummen umrechnen, nach der Formel für die Primzahlen...
Gruß MattiJo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 01.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast erstens die Faktoren nur aus p und nur aus q, dazu noch alle Faktoren aus p und [mm] *q,*q^2... ;*q^{\beta} [/mm] das kannst du ja wohl in 4 Teilen ausrechnen,
Gruss leduart
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