Vollkommene Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 02.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
sitze gerade an einer Induktion zum Thema vollkommene Zahlen.
Ich will die Aufgabe, die mich beschäftigt, nicht direkt posten, sondern einmal eine ähnliche Aufgabe, die ich bei Wikipedia gefunden habe, sodass ich das evtl. auf meine Aufgabe transferieren kann.
Hier die Aufgabe:
Zu zeigen: Die Summe der reziproken Teiler einer vollkommenen Zahl n (einschließlich der Zahl selbst) ergibt 2.
[mm] \summe_{k|n}\bruch{1}{k}=2.
[/mm]
Als Beispiel:
Für n = 6 gilt: [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6}=\bruch{12}{6}= [/mm] 2
Wobei k|n, (alle) k, die Teiler von n sind, bedeutet.
Ich würde das mit Induktion machen wollen, weiß jedoch nicht genau wie, da die nächste vollkommene Zahl erst wieder 28 ist, ich aber mit Induktion zeigen würde, dass, wenn es für n=6 gilt, auch für 6+1 gelten muss, aber 6+1 ist ja keine vollkommene Zahl. Was wäre hier die Alternative zur Induktion?
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 02.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Was wäre hier die
> Alternative zur Induktion?
Direkt beweisen - also die Summe umformen. Dabei würde ich versuchen die Brüche zu beseitgen. Multiplikation mit n ergibt hier zB sofort die Lösung.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 02.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
> Direkt beweisen - also die Summe umformen. Dabei würde ich
> versuchen die Brüche zu beseitgen. Multiplikation mit n
> ergibt hier zB sofort die Lösung.
[mm] \summe_{k|n}\bruch{1}{k}=2.
[/mm]
Ich weiß jedoch überhaupt nicht, wie ich hier mit n multiplizieren soll!?
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 02.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\summe_{k|n}\bruch{1}{k}=2.[/mm]
>
> Ich weiß jedoch überhaupt nicht, wie ich hier mit n
> multiplizieren soll!?
Diese Gleichung mit n multiplizieren! [m]\summe_{k|n}\bruch{n}{k} =2n[/m].
SEcki
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