Vol Rotationskörper < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Thowup |
| Aufgabe | Die Fläche zwischen der Kurve y = e^-x und der y-Achse rotiere um die y-Achse, wobei 0 ≤ x ≤ 1.
Welches Volumen hat die entstehende Drehfigur? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
für die genannte Aufgabe bräuchte ich dringend eine Hilfestellung. Die Formel zur Volumenberechnung bei Drehung um die y-Achse liegt vor. Was setze ich für [mm] x^2 [/mm] ein? Muss ich dazu y=e^-x nach x auflösen und dann quadrieren?
Weiterhin fällt mir das auflösen der Integration sehr schwer. Ist diese mit partieller Integration zu lösen?
Vielen Dank im Vorraus schon mal für eure Mühen.
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> Die Fläche zwischen der Kurve y = e^-x und der y-Achse
> rotiere um die y-Achse, wobei 0 ≤ x ≤ 1.
> Welches Volumen hat die entstehende Drehfigur?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
Hallo,
> für die genannte Aufgabe bräuchte ich dringend eine
> Hilfestellung. Die Formel zur Volumenberechnung bei Drehung
> um die y-Achse liegt vor. Was setze ich für [mm]x^2[/mm] ein? Muss
> ich dazu y=e^-x nach x auflösen und dann quadrieren?
Ja, du musst von deiner Funktion die Umkehrfunktion bilden.
> Weiterhin fällt mir das auflösen der Integration
> sehr schwer. Ist diese mit partieller Integration zu
> lösen?
>
Vielleicht schreibst du uns erstmal hier auf, wie dein Integral dann aussieht. Dann schauen wir weiter.
> Vielen Dank im Vorraus schon mal für eure Mühen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Thowup |
Als Umkehrfunktion habe ich x=-ln(y), die Ableitung von y=-e^-x. Die Formel für das Volumen lautet meiner Meinung nach:
[mm] \pi\integral_{0}^{1}{x^{2}f'(x) dx}
[/mm]
Jetzt würde ich das oben genannte einsetzen, sodass sich dann ergibt:
[mm] \pi\integral_{0}^{1}{(-ln(y)^{2})(-e^{-x}) dx}
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Thowup |
Hallo Loddar, die Formel hab ich aus der mathematischen Formelsammlung von Lothar Papula. Meine vorgeschlagene Formel steht unter dem Punkt: Rotation um die y-Achse unter der Bedingung "Angabe in Parameterform". (Deine steht unter der Bedingung "Kartesischen Koordinaten") Weiterhin hab ich doch als Grenzen nur das Intervall von 0-1 gegeben? Wie komme ich dann an die von dir gedachten Grenzen?
Über einen Lösungsweg würde ich mich freuen;)
Schon mal Danke an euch für eure schnellen Antworten.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thowup!
Da wir die Funktion hier in kartesischer Form vorliegen haben, sollte nunmehr auch klar sein, welche Formel man anwenden muss.
Die Grenzen ergeben sich durch Einsetzen der gegebenen x-Werte:
[mm]y_1 \ = \ f(x_1) \ = \ f(0) \ = \ e^{-0} \ = \ ...[/mm]
[mm]y_2 \ = \ f(x_2) \ = \ f(1) \ = \ e^{-1} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Thowup |
Vielen Dank, damit sind meine Probleme gelöst:)
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> Als Umkehrfunktion habe ich x=-ln(y), die Ableitung von
> y=-e^-x.
Ableitung ??
> Die Formel für das Volumen lautet meiner Meinung nach:
>
> [mm]\pi\integral_{0}^{1}{x^{2}f'(x) dx}[/mm]
>
> Jetzt würde ich das oben genannte einsetzen, sodass sich
> dann ergibt:
>
> [mm]\pi\integral_{0}^{1}{(-ln(y)^{2})(-e^{-x}) dx}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das Quadrat von -ln(y) wäre [mm] (-ln(y))^2 [/mm] = [mm] (ln(y))^2
[/mm]
> Ist das soweit korrekt?
Die Integration kannst du entweder über die Variable
y ausführen (so wie Loddar vorgeschlagen hat) oder
über x.
Mit y: $\ V\ =\ [mm] \pi*\integral_{y_{min}}^{y_{max}}\left(f^{-1}(y)\right)^2\ [/mm] dy\ =\ [mm] \integral_{y=\frac{1}{e}}^{1}(ln\ y)^2\ [/mm] dy$
Mit x: $\ V\ =\ [mm] \pi*\integral_{f^{-1}(y_{min})}^{f^{-1}(y_{max})}x^2*f'(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{x=1}^{0}x^2*(-e^{-x})\ [/mm] dx$
LG Al-Chw.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Schreibe aber besser [mm] $y\red{'} [/mm] \ = \ [mm] -e^{-x}$ [/mm] .
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die Formel lautet:
