Vmax Quader/bei 6qm Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Di 25.10.2011 | | Autor: | sunyata |
| Aufgabe | Aus einem Stück Pappe (2 m x 3 m) soll ein Kasten mit Deckel gebastelt werden.
Wie müssen Länge,Breite & Höhe gewählt werden, damit das Volumen V(h) maximal ist. Berechne das maximale Volumen. |
Meine Lösung sieht wie folgt aus:
Da der Würfel, der Quader mit dem größtmöglichen Rauminhalt bei kleinster Fläche ist gilt:
Hauptbedingung: V=a³
Nebenbedingung: a=b=c ; da Würfel daher: Oberfläche =6a²=6
ergibt: a=1 eingesetzt in Haupt/Extremalbedingung: V=1 Ableitung V'=1
Die Seitenlänge muss 1 betragen. Das Maximale Volumen beträgt 1 m³.
Mir scheint das Ergebniss stimmt, aber bei der Ableitung stimmt was nich... danke schonmal!
|
|
| |
|
Hallo sunyata,
das geht aber ziemlich durcheinander.
> Aus einem Stück Pappe (2 m x 3 m) soll ein Kasten mit
> Deckel gebastelt werden.
> Wie müssen Länge,Breite & Höhe gewählt werden, damit
> das Volumen V(h) maximal ist. Berechne das maximale
> Volumen.
> Meine Lösung sieht wie folgt aus:
>
> Da der Würfel, der Quader mit dem größtmöglichen
> Rauminhalt bei kleinster Fläche ist gilt:
> Hauptbedingung: V=a³
Das mag sein, aber bei einem Stück Pappe von 2*4m wäre auch noch etwas größeres als ein Würfel zu basteln. Deine Festlegung nimmt also das Ergebnis vorweg.
> Nebenbedingung: a=b=c ; da Würfel daher: Oberfläche
> =6a²=6
Auch hier: Du musst für einen Quader allgemeiner Größe rechnen.
> ergibt: a=1 eingesetzt in Haupt/Extremalbedingung: V=1
> Ableitung V'=1
Ist V denn eine Funktion, die von irgendetwas abhängt? Sonst kann man ja nicht ableiten, wonach auch.
> Die Seitenlänge muss 1 betragen. Das Maximale Volumen
> beträgt 1 m³.
>
> Mir scheint das Ergebniss stimmt, aber bei der Ableitung
> stimmt was nich... danke schonmal!
In der Tat stimmt das Ergebnis, aber der Weg dahin ganz und gar nicht. Er wäre für andere Kartongrößen nicht verwendbar.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sunyata |
ok, dann neu:
Hauptbedingung: Vq =a*b*c
Nebenbedingung: 2ab+abc+2ac=6
wenn ich nach a umstelle bekomme ich: a= -c+6/b
bei Vq eingesetzt: Vq=(-c+6/b)*b*c
ergibt (sollte ergeben): Vq=c²+6c
Ableitung: V`= 2c+6 =0
c=3
stimmt nicht.....wo is der fehler, und wie is der korrekte lösungsweg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Mi 26.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. "gebastelt" werden! wenn deine Pappe 0.5m*12m wäre kannst du trotz [mm] 6m^2 [/mm] deine Kiste nicht basteln!
Gibt es eine Bastelanleitung?
> Hauptbedingung: Vq =a*b*c
>
> Nebenbedingung: 2ab+abc+2ac=6
falsch
> wenn ich nach a umstelle bekomme ich: a= -c+6/b
folgt weder aus deiner noch der richtigen Nebenbedingung!
> bei Vq eingesetzt: Vq=(-c+6/b)*b*c
>
> ergibt (sollte ergeben): Vq=c²+6c
wie kommst du darauf?
Du mußt verwendenentweder eine Bastelanleitung mit möglichem Abfall, oder dass Breite und oder Länge passen müssen sonst kannst du die aufgabe auf Schulniveau nicht lösen.
oder du nimmst an dass es ein Quader mit quadratischem Boden ist und rechnest die Höhe aus.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sunyata |
Eine Bastelanleitung gab es nicht. Man kann ja davon ausgehen, dass man die Pappe in beliebig kleine Quadrate schneidet, damit liesse sich gerundet jeder Quader herstellen, dann könnte man den Ansatz zm. für einen ersten Näherungswert so nutzen.
Ist ja nicht gesagt, wie der Quader gebaut werden soll.
Das heisst, ich rechne das theoretisch größte Volumen aus, und beziehe das nochmal auf die praktischen Gegebenheiten der vorhandenen Möglichkeiten eines Pappkartons, und von mir aus der entsprechenden Schere ;). Spass beiseite...
Jedenfalls sollte man so davon ausgehen können, dass man schlicht von einer Oberfläche es Quaders = 6qm ausgehen können sollte!! ich will es in dieser Aufgabe jedenfalls tun. Wie wäre dann die richtige nebenbedigung etc.?
Könntest du mir den richtigen Ansatz für die Aufgabe geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 26.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach dir mal eine Skizze, die rot markierten Quadrate der Seitenlänge x musst du ausschneiden, und an den schwarzen Kanten im Rechteck dann falten.
Falls das nicht die Skizze sein sollte, müsstest du uns die Skizze mal mitteilen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann gilt:
$ [mm] V=\frac{a-3x}{2}\cdot(b-2x)\cdot [/mm] x $
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sunyata |
'Da gehst du doch davon aus, dass der Pappkarton in einem STück sein soll,dass is aber garnicht gesagt!! Gesagt ist nur, aus einem Pappkarton sollen sie Seitenwände erstellt werden...das heisst man kann ihn BELIEBIG aufteilen!! Denke an die kleinsten Quadrate!!!!
Also müsste der Ansatz heissen wie gesagt
hb: v=a x b x c und nb: 6= 2ab+2bc+2ac
wenn hier keine übereinstimmung herrscht, so bitte ich, diesen ansatz zu berücksichtigen, und meine oben probierte Rechnung zu korrigieren! Vielen Dank!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mi 26.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn das basteln nicht ernst gemeint ist und du nur von den [mm] 6m^2 [/mm] ausgehst- was basteln widerspricht, kannst du die aufgabe mit schulmitteln nicht lösen, da 2 Unbekannte in v stehen bleiben, wenn du die Seiten beliebig wählst. dann musst du 2 Seiten gleich wählen, also etwa a=b da dann das ergebnis rauskommt, das du am Anfang hattest , kannst du die seiten auch aus deinem karton schneiden.
Genausogut könntest du aber auch mit a=2b anfangen oder a=0.7b usw.
maxima mit 2 variablen lernt man auf der Schule noch nicht.
alsoist die Aufgabe unvollständig. natürlich kannst du mit a=b anfangen, dann a=0.9b wieder das max ausrechnen und feststellen es ist kleiner.
Gruss leduart
|
|
|
|
