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Sei [mm] $(X_n)$ [/mm] eine Folge unabhängiger reelwertiger Zufallsvariablen mit [mm] $E[X_n]=0$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] und gleichmäßig beschränktem vierten Moment, gibt es eine Möglichkeit daraus abzuleiten, dass auch die zweiten Momente gleichmäßig beschränkt sein müssen? (stimmt das überhaupt?)
Danke für eure Meinungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mo 31.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm](X_n)[/mm] eine Folge unabhängiger reelwertiger
> Zufallsvariablen mit [mm]E[X_n]=0[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] und
> gleichmäßig beschränktem vierten Moment, gibt es eine
> Möglichkeit daraus abzuleiten, dass auch die zweiten
> Momente gleichmäßig beschränkt sein müssen? (stimmt das
> überhaupt?)
>
> Danke für eure Meinungen!
Es gilt für eine im Bild einer integrierbaren Funktionen g konvexen Funktion f auf einem W-Raum [mm]f\left(\int gdP\right)\le\int f\circ gdP[/mm] (Jensensche Ungleichung). Mit [mm] g=X^2 [/mm] und dem konvexen [mm] f=(.)^2 [/mm] sollte das Quadrat des zweiten Moment durch das Vierte nach oben abschätzbar sein.
Hilft Dir das?
LG
gfm
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Super Idee!
verstehe ich Dich richtig, Du argumentierst doch [mm] $(E[X_i^2])^2\leq E[(X_i^2)^2]=E[X_i^4]$ [/mm] nach Jensen, weil [mm] $(.)^2$ [/mm] konvex auf [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $X_i^2$ [/mm] reelwertige ZV wegen $X$ reellwertig.
Also gilt wegen [mm] $E[X_i^4]\leq [/mm] C$ für alle $i$ auch [mm] $E[X_i^2]\leq \wurzel(C)$.
[/mm]
hoffe ich habs richtig verstanden und vielen Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Di 01.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Super Idee!
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> verstehe ich Dich richtig, Du argumentierst doch
> [mm](E[X_i^2])^2\leq E[(X_i^2)^2]=E[X_i^4][/mm] nach Jensen, weil
> [mm](.)^2[/mm] konvex auf [mm]\IR[/mm] und [mm]X_i^2[/mm] reelwertige ZV wegen [mm]X[/mm]
> reellwertig.
> Also gilt wegen [mm]E[X_i^4]\leq C[/mm] für alle [mm]i[/mm] auch
> [mm]E[X_i^2]\leq \wurzel(C)[/mm].
>
Ja, jedoch ist die Voraussetzung zum Bestehen der Ungleichung, dass erst einmal [mm] E(X^2) [/mm] existiert. Ich hoffe, dass macht in Deinem Fall nichts.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Di 01.06.2010 | | Autor: | kunzmaniac |
Hm, das habe ich glatt übersehen. Vielleicht kann man das noch mit der beschränktheit der vierten momente reparieren - leider kann ich nur verwenden, was oben gegeben ist - mehr weiß ich über die [mm] $(X_n)$ [/mm] nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 01.06.2010 | | Autor: | kunzmaniac |
Ja! es geht! Hölderungleichung, bzw in diesem speziellen Fall Cauchy Schwarz!
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