Vielfachheit v Nullst. u VZW < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 11.05.2011 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | Es handelt sich nicht um eine Aufgabe, sondern um einen Satz, den ich gerne beweisen würde bzw. den ich gern begründen würde.
Satz:
Ist die Vielfachheit einer Nullstelle (einer stetigen, diffbaren Funktion) gerade, so liegt dort ein VZW vor.
Ist die Vielfachheit ungerade, so liegt doch kein VZW vor. |
Ich frage mich, wie ich den Satz beweisen kann.
Eine Idee hätte ich:
da f stetig ist, existiert eine Stammfunktion F mit F'=f. Wenn man jetzt zeigt, dass F bei der Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] von f ein Extremum hat, ist man fertig.
Also muss gezeigt werden, dass [mm] x_{0} [/mm] eine Nullstelle von F' ist (was nach Voraussetzung gilt) und, dass die erste Ableitung, die nicht bei [mm] x_{0} [/mm] verschwindet (also ungleich 0 ist), eine gerade Ableitung ist.
Nun:
Wenn f eine Nullstelle ungerader Vielfachheit n bei [mm] x_{0} [/mm] hat, heißt das, dass die erste Ableitung, die nicht verschwindet, eine "gerade" Ableitung ist, und somit ein Extremum von F bei [mm] x_{0} [/mm] vorliegt.
Was sagt Ihr dazu? Macht das so Sinn???
Oder drehe ich mich im Kreis.
Es gilt doch der Satz, dass f ein Extremum bei [mm] x_{0} [/mm] besitzt, wenn [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(2n-1)}(x_{0}) [/mm] und [mm] f^{(2n)}(x_{0})\not=0 [/mm] gilt, oder?
Besten Dank im Voraus!
TB
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:18 Mi 11.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
Ich überlege gerade, ob das überhaupt gilt.
$f(x)=x*^2$
Hat doppelte Nullstelle bei x=0 aber keinen VZW.
Wo ist mein Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mi 11.05.2011 | | Autor: | tb1804 |
@Wieschoo: mein Fehler. Es gilt genau anders rum. Hab es bereits korrigiert.
@ Fred97: Besten Dank!
Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein Extremum vorliegt, wenn gilt [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0 [/mm] und [mm] f^{2n}(x_{0})\not=0?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> @Wieschoo: mein Fehler. Es gilt genau anders rum. Hab es
> bereits korrigiert.
>
> @ Fred97: Besten Dank!
>
> Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein
> Extremum vorliegt, wenn gilt
> [mm]f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0[/mm] und
> [mm]f^{2n}(x_{0})\not=0?[/mm]
Dann hast Du (ähnlich wie in meiner Antwort oben):
(*) f(x)= [mm] f(x_0)+$ \bruch{f^{(2n)}(t_x)}{(2n)!}(x-x_0)^{2n} [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ U
Ist [mm] \bruch{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}>0, [/mm] so folgt aus (*): f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U
Ist [mm] \bruch{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}<0, [/mm] so folgt aus (*): f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei I ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] der Einfachheit halber beliebig oft differenzierbar auf I.
Sei [mm] x_0 \in [/mm] I eine n-fache Nullstelle von f, also [mm] f(x_0)=f'(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0 [/mm] und [mm] f^{(n)}(x_0) \ne [/mm] 0. Weiter nehmen wir an, dass [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von I ist.
Der Satz von Taylor liefert: es gibt eine Umgebung U [mm] \subseteq [/mm] I von [mm] x_0 [/mm] und ein [mm] t_x \in [/mm] U mit:
(1) f(x)= [mm] \bruch{f^{(n)}(t_x)}{n!}(x-x_0)^n [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U
Weiter kann U so klein gewählt werden, dass
(2) [mm] f^{(n)}(x_0) *f^{(n)}(s) [/mm] >0 für alle s in U.
Fall 1: n ist gerade.
Ist [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] >0, so folgt aus (1) und (2): f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für jedes x [mm] \in [/mm] U, also kein VZW.
Ist [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] <0, so folgt aus (1) und (2): f(x) [mm] \le [/mm] 0 für jedes x [mm] \in [/mm] U, also kein VZW.
Fall 2: n ist ungerade: wieder sieht man mit (1) und (2): es liegt ein VZW vor.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mi 11.05.2011 | | Autor: | tb1804 |
Hat zufällig noch jemand den Beweis dafür parat, dass ein Extremum vorliegt, wenn gilt [mm] f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{2n-1}(x_{0})=0 [/mm] und [mm] f^{2n}(x_{0})\not=0?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Diese Frage hab ich soeben beantwortet.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 11.05.2011 | | Autor: | tb1804 |
Nicht ganz klar ist mir, warum [mm] t_{x} [/mm] auftaucht und woher das s kommt.
Müsste [mm] t_{x} [/mm] nicht die Entwicklungsstelle (also [mm] x_{0}) [/mm] sein?
Gehe ich recht in der Annahme, dass s ein Wert nahe bei [mm] x_{0}, [/mm] so dass [mm] f^{n}(x_{0}) [/mm] und [mm] f^{n}(s) [/mm] vorzeichengleich sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nicht ganz klar ist mir, warum [mm]t_{x}[/mm] auftaucht
[mm] t_x [/mm] ist die Zwischenstelle aus dem Satz von Taylor
>und woher
> das s kommt.
>
> Müsste [mm]t_{x}[/mm] nicht die Entwicklungsstelle (also [mm]x_{0})[/mm]
> sein?
Nein. s.o.
>
> Gehe ich recht in der Annahme, dass s ein Wert nahe bei
> [mm]x_{0},[/mm] so dass [mm]f^{n}(x_{0})[/mm] und [mm]f^{n}(s)[/mm] vorzeichengleich
> sind?
Genau
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mi 11.05.2011 | | Autor: | tb1804 |
Alles klar - jetzt hab ich's geschnallt!!!
So macht es Sinn!
VIELEN Dank!!!
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