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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 So 01.11.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] n\in [/mm] N. Zeigen Sie: Die Vielfachen der Einheitsmatrix En sind genau die nxn-Matritzen, die it allen anderen nxn-Matritzen kommutieren, d.h. es gilt folgendes:
a) Für [mm] \lambda \in [/mm] K gilt: ( [mm] \lambda [/mm] En)B=B( [mm] \lambda [/mm] En) für alle B [mm] \in K^{nxn}
[/mm]
b) Ist A [mm] \in K^{nxn} [/mm] mit AB= BA für alle B [mm] \in K^{nxn}, [/mm] so existiert ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit A= [mm] \lambda [/mm] En |
Hi,
stehe vor dieser aufgabe und weiß nicht was ich machen soll.. kann mir jemand n Tipp geben und ein paar erste Schritte sagen?
Danke im vorraus
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zu a)
E ist bekanntlich das neutrale Element der Matrizenmultiplikation, also gilt schonmal AE=EA (E kommutiert mit jeder Matrix entsprechender Größe).
Außerdem ist die Kommutativität der Multiplikation von Matrix und Skalar ebenfalls bekannt.
Daraus folgt:
[mm] (\lambda E)A=\lambda EA=\lambda AE=A\lambda E=A(\lambda [/mm] E)
bleibt nur noch b) zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 01.11.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Sei K ein Körper und [mm] n\in [/mm] N. Zeigen Sie: Die Vielfachen der Einheitsmatrix En sind genau die nxn-Matritzen, die it allen anderen nxn-Matritzen kommutieren, d.h. es gilt folgendes:
a) Für [mm] \lambda \in [/mm] K gilt: ( [mm] \lambda [/mm] En)B=B( [mm] \lambda [/mm] En) für alle B [mm] \in K^{nxn}
[/mm]
b) Ist A [mm] \in K^{nxn} [/mm] mit AB= BA für alle B [mm] \in K^{nxn}, [/mm] so existiert ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit A= [mm] \lambda [/mm] En |
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Könnte mir vielleicht noch jemand mit der Aufgabe b) helfen??
Danke
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> b) Ist A [mm]\in K^{nxn}[/mm] mit AB= BA
> für alle B [mm]\in K^{nxn},[/mm] so existiert ein [mm]\lambda \in[/mm] K mit
> A= [mm]\lambda[/mm] En
>
> Könnte mir vielleicht noch jemand mit der Aufgabe b)
> helfen??
Hallo,
Deine Matrix A soll ja mit jeder beliebigen nxn-Matrix vertauschbar sein.
Also ist sie auch vertauschbar mit den [mm] n^2 [/mm] Matrizen, die eine 1 und sonst überall Nullen haben.
Gruß v. Angela
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