Vielfache von 12 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Fr 01.06.2012 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, die Vielfache von 12 sind und genau 22 Teiler haben. |
Wir sind uns gerade nicht sicher, ob unsere Lösung korrekt ist, oder ob wir was übersehen haben.
wir suchen [mm]\{ 12a; a \in \IN \;und \; \tau (12a) =22 \}[/mm]
wobei [mm] \tau(n) [/mm] die Teileranzahlfunktion ist.
dann wissen wir, dass [mm]12=2^2 * 3 [/mm] ist, also [mm] \tau(12)=(2+1)(1+1)=6[/mm]
dann gilt doch [mm]\tau(12a) = \tau(12)*tau(a)[/mm] also [mm]22=6*x[/mm]
aber zu dieser Gleichung kann ich kein [mm]x \in \IN [/mm] finden.
dann kann es auch die gesuchten vielfachen nicht geben, oder?
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moin,
Deine Funktion [mm] $\tau$ [/mm] ist nicht im klassischen Sinne multiplikativ sondern nur im zahlentheoretischen Sinne.
Guck dir nochmal genau die Definition von "mutliplikativ" an, die [mm] $\tau$ [/mm] erfüllt, das sollte die Frage beantworten und auch schon ein paar Anhaltspunkte geben, wie die gesuchten Zahlen aussehen könnten.
Als Beispiel nehmen wir mal:
$x = [mm] 2^{10}*3$
[/mm]
Dieses hat als Teiler:
[mm] $2^i, 3*2^i$, [/mm] jeweils für $0 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] 10$, also 22 Teiler und ist Vielfaches von $12$.
lg
Schadowmaster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Systematisch kannst du so auf die Lösung kommen:
Es gilt [mm] 12=2^2*3 [/mm] und [mm] a=2^x*3^y*z. [/mm] Damit hast du [mm] 12a=2^{2+x}*3^{1+y}*z \Rightarrow \tau(12a)=(2+x+1)*(1+y+1)*\tau(z)=(x+3)*(y+2)*\tau(z), [/mm] weil z teilerfremd zum Rest ist.
Nun soll gelten: [mm] 22=11*2=(x+3)*(y+2)*\tau(z). [/mm] Hieraus kannst du dann alles benötigte herleiten, z.B. muss [mm] \tau(z)=1 [/mm] sein etc.
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