Verzögerte DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Löse die DGL $ [mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = - [mm] \bruch{\pi}{2T} [/mm] N(t-T) $
2) Sei $ [mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = r N(t) [1- [mm] \bruch{N(t-T)}{K}] [/mm] $. Dann ist die dimensionslose DGL
$ [mm] \bruch{dN^\*}{dt^\*} [/mm] = [mm] N^\*(t^\*) [/mm] [1- [mm] N^\*(t^\*-T^\*)] [/mm] $
wobei [mm] N^\* [/mm] = N/K, [mm] t^\* [/mm] = rt, [mm] T^\* [/mm] = rT |
1) Ich weiß, dass die (oder eine) Lösung ist: $ N(t) = A [mm] cos(\bruch{\pi t}{2T}) [/mm] $ wobei A konstant ist. Kann mir jemand helfen, wie ich darauf komme? Habe mit verzögerten DGL noch gar nicht gearbeitet.
2) Was bedeutet denn diese dimensionslose DGL? Was hilft sie mir? Es geht um Populationswachstumsmodelle mit Verzögerung, wir haben bis jetzt periodische Lösungen. Kommt man von der normalen DGL auf die dimensionslose DGL durch Umformung? Klappt bei mir nämlich nicht. Oder ist es etwas ganz anderes?
Vielen Dank für eure Hilfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://page.math.tu-berlin.de/~wittbold/Teach/LehreSS05/Seminararbeit.pdf
Insbes. §2 u. §3
FRED
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Danke für den Link, damit habe ich auch schon gearbeitet. Vor allem die Motivation ist sehr anschaulich (und zielt nicht sofort auf Räuber-Beute ab, sondern erklärt den Einspeziesfall, welchen ich auch behandle)
Trotzdem komme ich dadurch nicht auf die Antworten zu meinen Fragen 1) und 2).
Vielleicht hier mal mein Ansatz zu 1): Ich nehme die Lösung jetzt einfach als gegeben und versuche zuzeigen, dass es eine Lösung der DGL ist:
Mit N(t) wie oben folgt,
$ N'(t) = -A [mm] sin(\bruch{\pi t}{2T}) \bruch{\pi}{2T} [/mm] = - [mm] \bruch{\pi}{2T} [/mm] A [mm] sin(\bruch{\pi t}{2T}) [/mm] $
wie komme ich denn jetzt noch auf ... $ = - [mm] \bruch{\pi}{2T} [/mm] N(t-T) $
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Link, damit habe ich auch schon gearbeitet.
> Vor allem die Motivation ist sehr anschaulich (und zielt
> nicht sofort auf Räuber-Beute ab, sondern erklärt den
> Einspeziesfall, welchen ich auch behandle)
>
> Trotzdem komme ich dadurch nicht auf die Antworten zu
> meinen Fragen 1) und 2).
>
> Vielleicht hier mal mein Ansatz zu 1): Ich nehme die
> Lösung jetzt einfach als gegeben und versuche zuzeigen,
> dass es eine Lösung der DGL ist:
>
> Mit N(t) wie oben folgt,
>
> [mm]N'(t) = -A sin(\bruch{\pi t}{2T}) \bruch{\pi}{2T} = - \bruch{\pi}{2T} A sin(\bruch{\pi t}{2T})[/mm]
>
> wie komme ich denn jetzt noch auf ... [mm]= - \bruch{\pi}{2T} N(t-T)[/mm]
Berechne mal
[mm] cos(\bruch{\pi(t-T)}{2T}) [/mm] Additionstheorem !
FRED
>
> Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Di 28.04.2015 | | Autor: | kaykay_22 |
perfekt! Danke hat geklappt 
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| Aufgabe | 3) a) $ [mm] \bruch{dN}{dt} [/mm] = f(N) $ besitzt keine periodische Lösung. (bereits gezeigt)
b) ein scheinbares Gegenbeispiel ist $ N(t)=2+sin(t) $. Bestimme f(N), sodass N(t) Lösung der DGL ist und erkläre, warum das kein Gegenbeispiel ist. |
Wie oben erwähnt, habe ich die a) von dieser Aufgabe schon gezeigt.
Fehlt also noch die b).
Es ist ja $ [mm] \bruch{dN}{dt}=N'(t) [/mm] = cos(t) $. Aber das muss ich ja jetzt wieder umschreiben mit N(t) oder? Additionstheoreme fallen diesmal aber raus.
Den zweiten Teil von der b) verstehe ich dann auch nicht, aber vielleicht geht das dann einfacher wenn ich f(N) raushabe.
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mi 29.04.2015 | | Autor: | kaykay_22 |
Kann mir dabei vielleicht jemand helfen?
Ich habe jetzt doch mit dem Addtheorem gearbeitet und erhalte
$ dN/dt = 2 - N( t - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] $
Aber das wäre dann ja eine "delay" diff.eq. Darauf zielt die Frage ja irgendwie nicht ab oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 30.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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