Verteilungsfunktion stetige ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 09.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei F eine Funktion
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < -2} \\ \bruch{1}{4} +\bruch{1}{8}*x, & \mbox{falls } \mbox{-2 <= x <= 0} \\ c_1 + c_2*(1 -e^{-x}, & \mbox{falls } x \mbox{ > 0}\end{cases}
[/mm]
mit gewissen Konstanten [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2.
[/mm]
a) Wählen Sie [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] so, dass F die Verteilungsfunktion einer stetig verteilten Zufallsvariablen ist.
b) Bestimmen Sie die Dichte und den Erwartungswert für die Zufallsvariable X aus a).
c) Berechnen Sie P(X > -1). |
Moin Moin,
zu a) Eine Verteilungsfunktion muss stetig sein. D.h.
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}*0 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*(1 -e^{-0})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*0 [/mm] => [mm] c_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
F(x) muss für x -> [mm] \infty [/mm] gleich 1 sein.
Da F(0) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] muss [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(X) = 1
=> [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*(1 [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-x}) [/mm] = 1
[mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2*1 [/mm] = 1
[mm] c_2 [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
richtig??
b)
Dichte stetige ZV
f(x) = F ' (x)
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ < -2} \\ \bruch{1}{4}, & \mbox{falls } -2 <= x \mbox{ <= 0 } \\ \bruch{3}{4}*e^{-x}, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \end{cases}
[/mm]
Erwartungswert stetige ZV
E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
E(X) = [F(X)] von -2 bis 0 + F(X) von 0 bis [mm] \infty
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] - (0) [mm] [(\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}]
[/mm]
= 1
richtig?
c) P (X > -1) = 1 - P(X <= -1) = 1 - (F(-1) - F(-2))
1 - [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}*(-1) [/mm] - 0) = [mm] \bruch{7}{8}
[/mm]
richtig?
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