Verteilungsfunktion einer ZV X < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:23 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{F},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] \Omega:=[0,1],\text{ }\mathcal{F}:=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O}) [/mm] und dem Lebesgue-Maß P auf [0,1].
Sei weiter [mm] X:[0,1]\rightarrow{\IR} [/mm] definiert durch [mm] X(\omega):=(min\{4\omega,3\}-2)^2 [/mm] für [mm] \omega\in{\Omega}.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion [mm] F_X [/mm] von X. |
Hallo Leute,
also ich hab so meine Probleme, wenns um Verteilungsfunktionen geht, was obige Aufgabe nicht unbedingt angenehmer macht.
Deswegen wärs auch echt rcihtig klasse, wenn mir jemand an Tipp hätte wie ich hier anfange bzw. wie die ersten Überlegungen aussehen müssen.
Ich hab mir bisher lediglich folgendes überlegt:
[mm] F_X(t):=P[X\le{t}]=P[(min\{4\omega,3\}-2)^2\le{t}]
[/mm]
Vielen Dank schon mal für alle Tipps und Anregungen!!
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Hiho,
nun stellst du am besten die Menge im P nach [mm] \omega [/mm] um.
Als erstes fiel mir da ein, die Menge disjunkt zu zerlegen in [mm] $4\omega \le [/mm] 3$ und [mm] $4\omega [/mm] > 3$.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay da komm ich nich so ganz mit!
Meinst du so ne Art Fallunterscheidung, d.h.:
1.Fall: [mm] \omega\le{\bruch{3}{4}}
[/mm]
[mm] (min\{4\omega,3\}-2)^2=(4\omega-2)^2=16\omega^2-16\omega+4\le{t}
[/mm]
2.Fall: [mm] \omega>\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] (min\{4\omega,3\}-2)^2=(3-2)^2=1^2=1\le{t}
[/mm]
Oder wie war das sonst gemeint? Und wie stelle ich nach [mm] \omega [/mm] um ohne, dass da nur Blödinn rasukommt??
Wär toll, wenn du mir noch den ein oder andern Tipp geben könntest, sonst krieg ich das nicht gebacken.
Vielen Dank schon mal!!
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Hiho,
na das sieht doch soweit ganz gut aus, dann hätten wir ja:
$ [mm] F_X(t):=P[X\le{t}]=P[(min\{4\omega,3\}-2)^2\le{t}] [/mm] = [mm] P[(4\omega [/mm] - [mm] 2)^2 \le [/mm] t, [mm] \omega \le \bruch{3}{4}] [/mm] + P[1 [mm] \le [/mm] t, [mm] \omega [/mm] > [mm] \bruch{3}{4}] [/mm] = [mm] P[\omega \le \bruch{\sqrt{t}+2}{4}, \omega \le \bruch{3}{4}] [/mm] + [mm] P[1\le [/mm] t, [mm] \omega [/mm] > [mm] \bruch{3}{4}]$
[/mm]
So, betrachten wir uns mal den ersten Summanden:
[mm] $P[\omega \le \bruch{\sqrt{t}+2}{4}, \omega \le \bruch{3}{4}] [/mm] = [mm] \min(P[\omega \le \bruch{\sqrt{t}+2}{4}], P[w\le\bruch{3}{4}]).
[/mm]
Nun vereinfache das mal noch weiter unter der Verwendung des gegebenen Maßes.
Tip: [mm] P[w\le\bruch{3}{4}]) [/mm] = [mm] P[[0,\bruch{3}{4}]] [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:18 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay ers mal vielen Dank!!
Wenn ich nun beachte, dass es sich bei P um das Lebesgue-Maß handelt bzw. dein Tipp verwende und mit dem zweiten Summanden ebenso verfahr wie für den ersten, ergibt sich die Verteilungsfunktion von X wie folgt:
[mm] F_X(t)=\begin{cases}
\bruch{\wurzel{t}+2}{4}+t-1 & \text{falls }0\le{t}<1\\
\bruch{3}{4}+t-1 & \text{falls }1\le{t}\le{\bruch{5}{4}}\\
1 & \text{falls }\bruch{5}{4}\le{t}
\end{cases}
[/mm]
Ist das richtig so?? Danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wär echt nett, wenn jemand kurz über obige Lösung schauen könnt und mir sagt, ob das so passt bzw. wo ich noch ausbessern muss!
Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 22.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Sorry ich bin aus Versehen auf den Button "Kann noch nicht als beantwortet gelten" gekommen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | (b) Finden Sie eine Zufallsvariable Y auf [mm] (\Omega,\mathcal{F},P), [/mm] die folgende Verteilungsfunktion hat:
[mm] F_Y(t)=\begin{cases}
0 & \text{falls }t<1\\
\bruch{1}{3} & \text{falls }1\le{t}<2\\
1-\bruch{1}{2\cdot{(t-1)}} & \text{falls }2\le{t}
\end{cases} [/mm] |
Okay also auf ein Neues! Hierbei hab ich mal sowas von gar keinen Plan wie ich anfangen soll. Das Einzige was mir dazu einfällt, ist die Aussage aus der Vorlesung, dass [mm] P_Y [/mm] eindeutig durch die Verteilungsfunktion [mm] F_Y(t) [/mm] bestimmt ist.
Aber wie ich nun auf die Abbildungsvorschrift der Zufallsvariablen [mm] Y:[0,1]\rightarrow{\IR} [/mm] komme, ist mir völlig schleierhaft.
Kurz gesagt ich bin im Moment ziemlich ratlos. Von daher würd ich mich über jeden Hinweis oder Tipp zur Aufgabe sehr freuen!!
Vielen Dank schon mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Fr 21.05.2010 | | Autor: | gfm |
> (b) Finden Sie eine Zufallsvariable Y auf
> [mm](\Omega,\mathcal{F},P),[/mm] die folgende Verteilungsfunktion
> hat:
>
> [mm]F_Y(t)=\begin{cases}
0 & \text{falls }t<1\\
\bruch{1}{3} & \text{falls }1\le{t}<2\\
1-\bruch{1}{2\cdot{(t-1)}} & \text{falls }2\le{t}
\end{cases}[/mm]
>
> Okay also auf ein Neues! Hierbei hab ich mal sowas von gar
> keinen Plan wie ich anfangen soll. Das Einzige was mir dazu
> einfällt, ist die Aussage aus der Vorlesung, dass [mm]P_Y[/mm]
> eindeutig durch die Verteilungsfunktion [mm]F_Y(t)[/mm] bestimmt
> ist.
>
> Aber wie ich nun auf die Abbildungsvorschrift der
> Zufallsvariablen [mm]Y:[0,1]\rightarrow{\IR}[/mm] komme, ist mir
> völlig schleierhaft.
>
> Kurz gesagt ich bin im Moment ziemlich ratlos. Von daher
> würd ich mich über jeden Hinweis oder Tipp zur Aufgabe
> sehr freuen!!
> Vielen Dank schon mal!!
Nimm [mm] Z:\omega\in[0,1]\mapsto\omega [/mm] und untersuche [mm] X=F_X^{-1}\circ [/mm] Z
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
>
> Nimm [mm]Z:\omega\in[0,1]\mapsto\omega[/mm] und untersuche [mm]X=F_X^{-1}\circ[/mm] Z
>
Ers mal vielen Dank!
Ich nehme an du hast hierbei Y statt X gemeint.
Dann wäre also [mm] Y:[0,1]\rightarrow{\IR} [/mm] mit [mm] \omega\mapsto{Y(\omega)=F_Y^{-1}\circ{Z}(\omega)=F_Y^{-1}(\omega)=t}
[/mm]
Richtig oder hab ich da was falsch verstanden?
Wär toll, wenn du noch das ein oder andere Wort dazu verlieren könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 21.05.2010 | | Autor: | gfm |
> >
> > Nimm [mm]Z:\omega\in[0,1]\mapsto\omega[/mm] und untersuche
> [mm]X=F_X^{-1}\circ[/mm] Z
> >
> Ers mal vielen Dank!
>
> Ich nehme an du hast hierbei Y statt X gemeint.
Yupp!
> Dann wäre also [mm]Y:[0,1]\rightarrow{\IR}[/mm] mit
> [mm]\omega\mapsto{Y(\omega)=F_Y^{-1}\circ{Z}(\omega)=F_Y^{-1}(\omega)=t}[/mm]
>
> Richtig oder hab ich da was falsch verstanden?
[mm] Y=F_Y^{-1}\circ{Z}(\omega)=F_Y^{-1}(\omega)
[/mm]
So und jetzt muss Du die gegebene Verteilung umkehren und zeigen, dass dann die so erhaltene ZV die vorgegebene Verteilung besitzt, oder Du machts das allgemein, was bestimmt nicht soviel Schreibarbeit ist.
LG
gfm
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:40 So 23.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Tag gfm,
herzlichen Dank für die Antwort.
Allerdings bin ich immer noch etwas planlos, was die Umsetzung deines Tipps angeht.
Ich weiß nicht so recht, was mit der Umkehrung gemeint ist bzw. wie ich diese ausführe. Könntest du mir das an einem einfachen Beispiel zeigen wies funktioniert?? Das wär echt klasse! Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Di 25.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Keiner an Beispiel parat, das mir hilft das Ganze besser zu verstehen?? Wör echt toll!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 25.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich habe soeben noch den Tipp bekommen, dass es sich bei Y um die sog. verallgemeinerte Inverse [mm] F^{-1} [/mm] von F handelt. Vielleicht kann damit jemand mehr anfangen als ichund mir doch noch an Tipp oder Beispiel liefern!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 25.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
>
> [mm]Y=F_Y^{-1}\circ{Z}(\omega)=F_Y^{-1}(\omega)[/mm]
>
> So und jetzt muss Du die gegebene Verteilung umkehren
Genau das verstehe ich nicht wie das funktionieirt! Wie mach ich das konkret??
Wär klasse, wenn da jemand helfen könnte. Vielen Dank!
edit: Wie bereits gesagt, hab ich noch den Tipp bekommen, dass es sich bei [mm] F^{-1} [/mm] um die verallgemeinerte Inverse von F handelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mi 26.05.2010 | | Autor: | gfm |
> >
> > [mm]Y=F_Y^{-1}\circ{Z}(\omega)=F_Y^{-1}(\omega)[/mm]
> >
> > So und jetzt muss Du die gegebene Verteilung umkehren
>
> Genau das verstehe ich nicht wie das funktionieirt! Wie
> mach ich das konkret??
> Wär klasse, wenn da jemand helfen könnte. Vielen Dank!
>
> edit: Wie bereits gesagt, hab ich noch den Tipp bekommen,
> dass es sich bei [mm]F^{-1}[/mm] um die verallgemeinerte Inverse von
> F handelt.
Hier mal ein praktisch motiviertes Beispiel:
Man benötigt Zufallszahlen, die einer vorgegebenen Verteilung gehorchen, hat aber nur einen Zufallszahlengenerator (ZG) zur Verfügung, der auf [0,1] (im Rahmen der Maschinengenauigkeit) gleichverteilte Zufallszahlen erzeugt.
[mm] R:\Omega\to [/mm] [0,1] sei die ZV, die den ZG modelliert. [mm] F:\IR\to [/mm] [0,1] sei die gewünschte Verteilung. Gesucht ist eine Abbildung [mm] g:[0,1]\to\IR, [/mm] so dass [mm] F_{g\circ R}=F [/mm] gilt:
[mm] F(t)=F_{g\circ R}(t)=\integral_{\Omega} 1_{(-\infty,t]}((g\circ R)(\omega))dP(\omega)=\integral_{R(\Omega)} 1_{(-\infty,t]}(g(r))dF_R(r)=\integral_{[0,1]} 1_{(-\infty,t]}(g(r))dr=\integral_{[0,1]} 1_{g^{-1}((-\infty,t])}(r)dr=\lambda(g^{-1}((-\infty,t])\cap[0,1]))
[/mm]
also
[mm] F(t)=\lambda(g^{-1}((-\infty,t]))
[/mm]
Und nun setze [mm] g:=F^{-1}. [/mm] Dann ist [mm] g^{-1}=F [/mm] und man erhält
[mm] \lambda(F((-\infty,t]))=\lambda([0,F(t)])=F(t)
[/mm]
auf jeden Fall unter der Voraussetzung, dass F eindeutig umkehrbar ist (was der Fall ist, wenn es streng monoton ist).
In diesem Beispiel ist der ZG die identische Funktion auf dem W-Raum ([0,1], [mm] \mathcal{B}([0,1]), 1_{[0,1]}\lambda) [/mm]
[mm] R:[0,1]\to[0,1];\omega\mapsto\omega
[/mm]
D.h., man sucht gleich eine explizit formulierte (also formelmäßig gegeben) ZV G auf diesem W-Raum, so dass [mm] G=g\circ [/mm] R. Und dieses g ist die Umkehrung der vorgegebenen Verteilung F.
Wenn nun so ein F vorgegeben ist, muss Du die Umkehrung auf [mm] (\operatorname{inf}\{t:F(t)>0\},\operatorname{sup}\{t:F(t)<1\}) [/mm] durchführen, d.h. es interessiert erst einmal nur der Bereich auf dem "was passiert". Und wenn F auf diesem Bereich die Darstellung [mm] 1_A(t)p(t)+1_B(t)q(t) [/mm] mit zwei disjunkten Intervallen A und B sowie zwei streng monotonen Funktionen p und q (die eigentlich auf ganz [mm] \IR [/mm] erklärbar sind) hat, muss man halt
[mm] y=1_A(x)p(x)+1_B(x)q(x)
[/mm]
nach x auflösen:
y=p(x) und [mm] x\in [/mm] A oder y=q(x) und [mm] x\in [/mm] B
also
[mm] p^{-1}(y)=x [/mm] und [mm] y\in p^{-1}(A) [/mm] oder [mm] q^{-1}(y)=x [/mm] und [mm] y\in q^{-1}(B)
[/mm]
d.h.,
[mm] x=1_{p^{-1}(A)}(y)p^{-1}(y)+1_{q^{-1}(B)}(y)q^{-1}(y)
[/mm]
Dann ergänzt man das noch um [mm] [1,\infty) [/mm] (für den Fall dass B beschränkt ist) und hat
[mm] g=1_{p^{-1}(A)}p^{-1}+1_{q^{-1}(B)}q^{-1}+1_{[1,\infty)}
[/mm]
Und so muss Du mit Deinem F umgehen (also abschnittsweise umkehren).
LG
gfm
P.S.: Das war jetzt für die Praxis und nicht 100%-ig theoretisch exakt. Das ganze kann beliebig kompliziert werden, da es Verteilungfunktionen gibt, die stetig sind, ihren gesamten Zuwachs auf [0,1] "einfahren" aber diesen auf einer überabzählbaren Menge der Länge null machen, und die Menge der Intervalle aus [0,1] auf denen sie konstant sind, hat die Gesamtlänge 1!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wow herzlichen Dank für ausführliche Antwort!!
Jetzt ist nur noch die Frage wie ich eine Verteilungsfunktion bzw. einen Abschnitt einer Verteilungsfunktion umkehre, wenn ich keine streng monotone Funktion p oder q hab sondern wie in diesem konkreten Fall konstante Funktionen 0 und [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Da fehlt mir ja zumindest mal ein x nach dem ich Auflösen könnte. Wie geh ich dann aber hierbei vor??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 27.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Wow herzlichen Dank für ausführliche Antwort!!
>
> Jetzt ist nur noch die Frage wie ich eine
> Verteilungsfunktion bzw. einen Abschnitt einer
> Verteilungsfunktion umkehre, wenn ich keine streng monotone
> Funktion p oder q hab sondern wie in diesem konkreten Fall
> konstante Funktionen 0 und [mm]\bruch{1}{3}.[/mm] Da fehlt mir ja
> zumindest mal ein x nach dem ich Auflösen könnte. Wie geh
> ich dann aber hierbei vor??
Mal Dir mal eine beliebige Verteilungsfunktion mit Sprüngen und konstanten Abschnitten auf ein Blatt pergamentpapier auf.
Beachte, dass für eine reellwertive ZV gelten muss
(i) [mm] \limes_{t\to-\infty}F(t)=0
[/mm]
(ii) F(t+)=F(t) (rechtsstetig)
(iii) [mm] \limes_{t\to\infty}F(t)=1
[/mm]
(iv) F monoton
Mach auch durch Verwendung von kleinen ausgemalten Kreisen und Halbkreisen an den Enden von Graphenabschnitten deutlich, wo der Wert noch angenommen wird und wo nicht (wo also der Graph "abgeschlossen" und "offen" ist).
Nun wende das Blatt, indem Du links und rechts vertauschst und drehe das Blatt im Uhrzeigersinn um 90°. Jetzt siehst Du den Graphen von g.
Da wo F einen Sprung macht, hat g einen konstanten Bereich und wo F konstant war macht g einen Sprung, denn es ist ja [mm] g:[0,1]\to\IR [/mm] und [mm] F:\IR\to[0,1] [/mm] (oder auch [0,1), (0,1] oder (0,1), dann konstruierst Du g entsprechend).
Wenn F einen Sprung bei t macht, hat der einzelne diskrete Wert t der ZV eine positive Wahrscheinlichkeit w:=F(t)-F(t-). Dann muss g einen ganzen Abschnitt [F(t-),F(t)) aus [0,1] mit einem positiven Lebesguemaß auf diesen einzelnen Wert t abbilden, damit wenn [mm] X=g\circ [/mm] R (mit R=id auf [mm] ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)), [/mm] gilt, dass [mm] w=P(X^{-1}(\{t\}))=P(R^{-1}\circ g^{-1}(\{t\})=\lambda(id([F(t-),F(t)))=F(t)-F(t-)=w
[/mm]
Wenn F auf [mm] A_l:=[a,b) [/mm] konstant gleich einem Wert [mm] F_A [/mm] ist, so dass [mm] \forall_{s\not\in A_l}F(s)\not=F_A [/mm] (d.h. [mm] A_l [/mm] ist maximal in dem Sinne, dass die Konstanz vor a und nach b aufhört), werden die Werte aus A:=(a,b) nicht realisiert (genauer gesagt: Die Chance, dass ein Ereignis [mm] J\subseteq [/mm] A eintritt, ist gleich null, denn [mm] F(t)-F(s)=\lambda(g^{-1}((s,t]))). [/mm] Das wiederum bedeutet, dass g bei [mm] F_A [/mm] einen Sprung von a auf b machen muss und zwar so, dass [mm] g(F_A)=a [/mm] und [mm] g(F_A+)=b [/mm] ist.
Wenn also F gegeben ist durch eine endliche Zahl von abschnittsweise gegebenen (stetig umkehrbaren oder konstanten) Funktionen [mm] F_k, [/mm] k=1,...,n, dann überprüfe zuerst, ob [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_n [/mm] die null bzw. die eins annehmen. Das entscheidet, ob Du g auf [0,1), (0,1], (0,1) oder [0,1] definierst. Zu jedem k>1 gibt es ein links abgeschlossenes Intervall [mm] I_k. [/mm] Für [mm] I_1 [/mm] ist [mm] (-\infty,b) [/mm] oder auch [a,b) mit einem endlichen a möglich.
Zu einem Intervall [a,b) auf der x-Achse gehört dann ein Intervall [F(a), F(b-)) auf der y-Achse, welche bei der abschnittweisen Umkehrung (wenn möglich) ihre Rollen vertauschen. Die "normal" umkehrbaren Abschnitte sollte man als erstes behandeln.
Danach kommen dann die Sprünge:
Wenn man auf einen Sprung beim Übergang von [mm] I_k [/mm] zu [mm] I_{k+1} [/mm] trifft, bedeutet das, wenn man [mm] I_k [/mm] als [a,b) und [mm] I_{k+1} [/mm] als [b,c) schreibt, dass
für g zwischen dem Intervall [F(a), F(b-)) und [F(b), F(c-)) ein Intervall [F(b-), F(b)) eingeschoben wird, auf dem g konstant gleich b ist.
Und wenn F längs [mm] I_k=[a,b) [/mm] konstant einem Wert w ist, bedeutet dass, dass g bei w von g(w)=a auf g(w+)=b springen muss, was sich aber automatisch aus Behandlung der anderen Abschnitten ergeben sollte.
Ich hoffe das paßt alles so.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Fr 28.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also das nenn ich mal eine ausführliche und präzise Antwort, echt klasse! Wirklich herzlichen Dank dafür.
Ich hätte allerdings noch zwei ergänzende Fragen.
1. So wie ich das verstanden hab spielt es für die Funktion g keine Rolle, ob mein [mm] I_1 [/mm] nun [mm] (-\infty,b) [/mm] oder [a,b) für ein endliches a ist. Ist das korrekt??
2. Stimmt es, dass die "kleinen ausgemalten Kreise" der Verteilungsfunktion unter Umständen bei der Funktion g dann zu "leeren Halbkreisen" werden, d.h. ausgemalte Kreise bleiben nicht unbedingt ausgemalt??
Vielen Dank schon mal!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Fr 28.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Also das nenn ich mal eine ausführliche und präzise
> Antwort, echt klasse! Wirklich herzlichen Dank dafür.
>
> Ich hätte allerdings noch zwei ergänzende Fragen.
> 1. So wie ich das verstanden hab spielt es für die
> Funktion g keine Rolle, ob mein [mm]I_1[/mm] nun [mm](-\infty,b)[/mm] oder
> [a,b) für ein endliches a ist. Ist das korrekt??
Nimm mal an, F(t) ist auf [mm] (-\infty, [/mm] 0) durch 1/2 [mm] e^{t} [/mm] gegeben. Dann ist [mm] g(\omega) [/mm] auf (0,1/2) durch [mm] \ln(2\omega) [/mm] gegeben und bildet also (0,1/2) auf [mm] (-\infty, [/mm] 0) ab.
Und wenn F(t) auf [0,1/2) durch [mm] t^2 [/mm] gegeben ist, d.h., wenn für t<0 F(t)=0 ist, dann ist [mm] g(\omega) [/mm] auf [0,1/4) durch [mm] \wurzel{\omega} [/mm] gegeben und bildet also [0,1/4) auf [0,1/2) ab.
Und wenn F(t) auf [0,1/2) durch [mm] t^2+1/4 [/mm] gegeben ist und F(t)=0 für für t<0 gilt, dann ist g auf [1/4,1/2) durch [mm] \wurzel{\omega-1/4} [/mm] gegeben und bildet [1/4,1/2) auf [0,1/2) ab sowie [0,1/4) auf {0}.
> 2. Stimmt es, dass die "kleinen ausgemalten Kreise" der
> Verteilungsfunktion unter Umständen bei der Funktion g
> dann zu "leeren Halbkreisen" werden, d.h. ausgemalte Kreise
> bleiben nicht unbedingt ausgemalt??
Da F rechtsstetig ist, gibt man es immer auf Intervallen [a,b) an, so dass F(a)=F(a+), d.h. am linklen Rand t=a nimmt F den Grenzwert von rechts als Funktionswert an und das heißt, dass der "ausgemalte Kreis" immer am linken Ende eines Teilgraphen sitzt. Wenn F auf diesem Abschnitt streng monoton steigt, wird g auch streng monoton steigen und das Interval [F(a),F(b-)) wird durch g auf [a,b) abgebildet. Der ausgemalte Kreis bleibt an Ort und Stelle. Das ist ja auch anschaulich klar, denn der Übergang zur Umkehrfunktion im [mm] \IR^1 [/mm] ist ja geometrisch die Spiegelung an y=x.
Wenn F zwischen den Intervallen [a,b) [b,c) einen Sprung macht, also das erste auf [F(a),F(b-)) und das zweite auf [F(b),F(c-)) mit F(b-)<F(b) abbildet, dann "fehlt" sozusagen der Argumentbereich von F(b-) bis F(b) auf dem g ja konstant b sein muss und das baut man sich dazu ein. Da man ein offenes Ende mit einem geschlossenen Ende verbinden muss, muss gelten [mm] g|_{[F(b-), F(b))}=b.
[/mm]
Und wenn F auf [a,b) konstant gleich einem Wert w ist (und davor und danach nicht), bedeutet das ja, das der Graphenabschnitt für g zum Vorgängerintervall offen bei (w,a) endet (gemäß den vorhergehenden Ausführungen) und dann mit einem Sprung abgeschlossen bei (w,b) weitergeht.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 28.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also wieder mal vielen herzlichen Dank!! Die Antworten sind echt hammer.
Okay also ich hab mich jetzt bemüht alles zu verstehen und hab nun eine konkrete Umkehrfunktion für meine eigentliche Aufgabe aufgestellt. Es gilt also:
[mm] Y:[0,1)\rightarrow{\IR} [/mm] mit [mm] \omega\mapsto{Y(\omega):=\begin{cases}
1 & \text{falls }0\le{\omega}<\bruch{1}{3}\\
2 & \text{falls }\bruch{1}{3}\le{\omega}<\bruch{1}{2}\\
\bruch{1}{2\cdot{(1-\omega)}}+1 & \text{falls }\bruch{1}{2}\le{\omega}
\end{cases}}
[/mm]
Wär klasse, wenn du kurz drüber schaust und mir dann sagen könntest, ob das so stimmt bzw. wo ich Fehler gemacht hab!
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Sa 29.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Also wieder mal vielen herzlichen Dank!! Die Antworten sind
> echt hammer.
> Okay also ich hab mich jetzt bemüht alles zu verstehen
> und hab nun eine konkrete Umkehrfunktion für meine
> eigentliche Aufgabe aufgestellt. Es gilt also:
>
> [mm]Y:[0,1)\rightarrow{\IR}[/mm] mit
> [mm]\omega\mapsto{Y(\omega):=\begin{cases}
1 & \text{falls }0\le{\omega}<\bruch{1}{3}\\
2 & \text{falls }\bruch{1}{3}\le{\omega}<\bruch{1}{2}\\
\bruch{1}{2\cdot{(1-\omega)}}+1 & \text{falls }\bruch{1}{2}\le{\omega}
\end{cases}}[/mm]
>
Paßt. Hab zumindest dasselbe heraus.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 29.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar! Dannvielen Dank nochmal recht herzlich füt die tollen Antworten!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Fr 21.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit
> [mm]\Omega:=[0,1],\text{ }\mathcal{F}:=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})[/mm]
> und dem Lebesgue-Maß P auf [0,1].
> Sei weiter [mm]X:[0,1]\rightarrow{\IR}[/mm] definiert durch
> [mm]X(\omega):=(min\{4\omega,3\}-2)^2[/mm] für [mm]\omega\in{\Omega}.[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion [mm]F_X[/mm] von X.
> Hallo Leute,
> also ich hab so meine Probleme, wenns um
> Verteilungsfunktionen geht, was obige Aufgabe nicht
> unbedingt angenehmer macht.
> Deswegen wärs auch echt rcihtig klasse, wenn mir jemand
> an Tipp hätte wie ich hier anfange bzw. wie die ersten
> Überlegungen aussehen müssen.
>
> Ich hab mir bisher lediglich folgendes überlegt:
>
> [mm]F_X(t):=P[X\le{t}]=P[(min\{4\omega,3\}-2)^2\le{t}][/mm]
>
>
> Vielen Dank schon mal für alle Tipps und Anregungen!!
Mit [mm] I_t:=(-\infty,t] [/mm] gilt
[mm] F_X(t)=\integral_{[0,1]} 1_{I_t}(((4\omega\wedge 3)-2)^2)d\omega=\integral_{[0,3/4)} 1_{I_t}((4\omega-2)^2)d\omega+\integral_{[3/4,1)} 1_{I_t}(1)d\omega=\integral_{[0,3/4)} 1_{I_t}(|4\omega-2|^2)d\omega+\frac{1}{4}1_{I_t}(1)
[/mm]
[mm] =\integral_{[0,3/4)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|4\omega-2|)d\omega+\frac{1}{4}1_{[1,\infty)}(t),
[/mm]
wobei die letzte Gleichheit for [mm] t\ge [/mm] 0 gilt. Man erhält dann weiter
[mm] =\frac{1}{4}(\integral_{[0,3/4)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|4\omega-2|)d(4\omega-2)+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(\integral_{[-2,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|u|)du+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(\integral_{[-2,0)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(-u)du+\integral_{[0,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(u)du+1_{[1,\infty)}(t))
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(\integral_{[0,2)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(u)du+\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(\lambda([0,2))\cap I_{\wurzel{t}})+\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})+1_{[1,\infty)}(t))
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(\lambda([1,2)\cap I_{\wurzel{t}})+2\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(2\wurzel{t}1_{[0,1)}(t)+2*1_{[1,\infty)}(t)+(\wurzel{t}-1)1_{[1,4)}(t)+1_{[4,\infty)}(t)+1_{[1,\infty)}(t))
[/mm]
[mm] =\frac{1}{4}(2\wurzel{t}1_{[0,1)}(t)+(\wurzel{t}+2)1_{[1,4)}(t)+4*1_{[4,\infty)}(t))=\frac{1}{2}\wurzel{t}1_{[0,1)}(t)+\frac{1}{4}(\wurzel{t}+2)1_{[1,4)}(t)+1_{[4,\infty)}(t)
[/mm]
Wenn man sich [mm] X(\omega) [/mm] aufmalt, macht das qualitativ auch Sinn: Der Graph besteht aus einer quadratischen nach oben geöffneten Parabel, die bei 4 auf der y-Achse startet, eine doppelte Nullstelle bei [mm] \omega=1/2 [/mm] hat und bei (3/4,1) in einen waagerechten Abschnitt übergeht.
D.h., die Chance Werte kleiner oder gleich 4 zu finden ist 1. Für unter 4 muss es einen stetigen Anschluss geben. Bei X=1 hat die Verteilung einen Sprung wegen des waagerechten Abschnitts.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut, ähmm ja wow kann ich da nur sagen! Also herzlichen Dank für die ausführliche Antwort.
Jetz wärs toll, wenn man sich an einen Tisch setzen und das alles gemeinsam durchgehn könnt, was ja leider nich geht, d.h. ich muss wohl abzählbar viele Fragen stellen :).
Ich fang einfach mal an:
1. Warum ist [mm] \frac{1}{4}1_{I_t}(1)=\frac{1}{4}1_{[1,\infty)}(t)
[/mm]
2. Bei der Umformung [mm] \frac{1}{4}(\integral_{[0,3/4)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|4\omega-2|)d(4\omega-2)+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(\integral_{[-2,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|u|)du+1_{[1,\infty)}(t)) [/mm] versteh ich nicht wieso man [mm] d\omega [/mm] einfach durch [mm] d(4\omega-2) [/mm] ersetzen darf und wie man durch die Substitution vom Intervall [mm] [0,\bruch{3}{4}) [/mm] zu [-2,1) kommt.
3.Warum ist [mm] \integral_{[0,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(u)du=\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})
[/mm]
4.Wie komm ich von [mm] \frac{1}{4}(\lambda([1,2)\cap I_{\wurzel{t}})+2\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}}) [/mm] zu [mm] \frac{1}{4}(2\wurzel{t}1_{[0,1)}(t)+2\cdot{}1_{[1,\infty)}(t)+(\wurzel{t}-1)1_{[1,4)}(t)+1_{[4,\infty)}(t)?
[/mm]
Ne Menge Fragen ich weiß, aber wär echt klasse, wenn sich dafür jemand Zeit nimmt. Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich fang einfach mal an:
> 1. Warum ist
> [mm]\frac{1}{4}1_{I_t}(1)=\frac{1}{4}1_{[1,\infty)}(t)[/mm]
Das kannst Du selber. Die Indikatorfunktion ist nun wirklich nicht so schwer. Schau einfach, warum die rechte Indikatorfunktion 1 ist, wenn die linke es ist und umgekehrt.
> 2. Bei der Umformung [mm]\frac{1}{4}(\integral_{[0,3/4)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|4\omega-2|)d(4\omega-2)+1_{[1,\infty)}(t))=\frac{1}{4}(\integral_{[-2,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(|u|)du+1_{[1,\infty)}(t))[/mm]
> versteh ich nicht wieso man [mm]d\omega[/mm] einfach durch
> [mm]d(4\omega-2)[/mm] ersetzen darf und wie man durch die
[mm] $u:=4\omega-2$; [/mm] wenn [mm] $u=4\omega-2$, [/mm] dann auch [mm] $du=d(4\omega-2)$
[/mm]
> Substitution vom Intervall [mm][0,\bruch{3}{4})[/mm] zu [-2,1)
[mm] $\omega\in [0,\bruch{3}{4})\ \gdw\ u\in [/mm] [-2,1)$
auch das solltest Du selber zeigen können.
> 3.Warum ist [mm]\integral_{[0,1)} 1_{I_{\wurzel{t}}}(u)du=\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})[/mm]
[mm] $\int_A 1_B\ d\lambda=\int 1_{A\cap B}\ d\lambda [/mm] = [mm] \lambda(A\cap [/mm] B)$
Das ist aus der Definition des Lebesgue-Integrals.
[mm] $\int 1_A(x)\ dx=\int 1_A(x)\ \lambda(dx)=\int 1_A\ d\lambda$
[/mm]
Die Schreibweise definiert man dabei auch gleich mit.
> 4.Wie komm ich von [mm]\frac{1}{4}(\lambda([1,2)\cap I_{\wurzel{t}})+2\lambda([0,1)\cap I_{\wurzel{t}})[/mm]
> zu
> [mm]\frac{1}{4}(2\wurzel{t}1_{[0,1)}(t)+2\cdot{}1_{[1,\infty)}(t)+(\wurzel{t}-1)1_{[1,4)}(t)+1_{[4,\infty)}(t)?[/mm]
Was ist denn das Lebesgue-Maß eines Intervalls? [mm] $\lambda([0,1])$? [/mm] Dann machst Du hier eine Fallunterscheidung für die verschiedenen Möglichkeiten von t. Wie schaut denn das Intervall [mm] $[1,2)\cap I_{\wurzel{t}}$ [/mm] für verschiedene Werte von t aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 So 23.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also ich hab mirs nochmal angeschaut und hab inzwischen alles nachvollziehen können und auch verstanden!
Herzlichen Dank an gfm und Blech!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 29.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hat es eigentlich was zu bedeuten, wenn hinter ner Antwort ein +1-0 steht??
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