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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:28 Di 24.11.2009 | | Autor: | steppenhahn |
| Aufgabe | | Die Lebensdauer einer Glühbirne (D.h. die Zeit bis zum Durchbrennen) wird durch die Exponentialverteilung [mm] Exp(\lambda) [/mm] beschrieben. Wie ist die Zeit bis zum ersten Durchbrennen einer Glühbirne in einer Probe aus N Glühbirnen verteilt? |
Hallo!
Ich habe in einer vorherigen Aufgabe gezeigt, dass wenn ich [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen habe mit Verteilungsfunktionen [mm] F_{1},...,F_{n} [/mm] und $M = [mm] max\{X_{1},...,X_{n}\}$ [/mm] bzw. $m = [mm] min\{X_{1},...,X_{n}\}$ [/mm] setze, dass dann die Verteilungsfunktionen von M und m durch
[mm] $F_{M}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x)$ [/mm] bzw. [mm] $F_{m}(x) [/mm] = [mm] 1-\produkt_{i=1}^{n}(1-F_{i}(x))$
[/mm]
gegeben sind.
Ich denke, dass ich das in der Aufgabe anwenden kann, allerdings steige ich noch nicht ganz dahinter. Es ist ja hier
[mm] X_{i} [/mm] = Dauer bis zum Durchbrennen der i-ten Glühbirne. (i = 1,...,N),
und ich weißt [mm] $F_{i}(x) [/mm] = [mm] \IP(X_{i}\le [/mm] x)$.
Nun ist X = Dauer bis zum Durchbrennen der ersten der N Glühbirnen, d.h.
[mm] F_{X}(x) [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt x noch keine Glühbirne durchgebrannt ist.
Ich würde nun sagen: X = [mm] min\{X_{1},..,X_{N}\},
[/mm]
da ja mindestens eine Glühbirne die Dauer bis zum Durchbrennen erreicht haben muss, damit X "eintritt".
Stimmt das? Könntet ihr mir das noch ein wenig "schöner" begründen, sodass kein X "eintritt" mehr drin vorkommt?
Ich glaube nämlich, ich habe selbst noch nicht ganz verstanden, was ich da geschrieben habe.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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> Die Lebensdauer einer Glühbirne (D.h. die Zeit bis zum
> Durchbrennen) wird durch die Exponentialverteilung
> [mm]Exp(\lambda)[/mm] beschrieben. Wie ist die Zeit bis zum ersten
> Durchbrennen einer Glühbirne in einer Probe aus N
> Glühbirnen verteilt?
Hallo Stefan,
eine Antwort auf diese Frage ist wohl da zu finden:
![[]](/images/popup.gif) Exponentialverteilung
Über die Herleitung der Formel habe ich mir allerdings
noch keine Gedanken gemacht.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deinen Tipp  , damit weiß ich zumindest schonmal was rauskommen soll.
Aber meine Frage war, wie ich noch genauer begründen kann, warum ich denn min benutzen muss.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 Mi 25.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> danke für deinen Tipp , damit weiß ich zumindest
> schonmal was rauskommen soll.
Wenn du die Verteilungsfunktion der Exponentialfunktion in [mm] $F_m(x)$ [/mm] einsetzt, siehst du auch gleich dass dies rauskommt.
> Aber meine Frage war, wie ich noch genauer begründen
> kann, warum ich denn min benutzen muss.
Nein, musst du nicht: wenn [mm] $X_i$ [/mm] sagt, wann die $i$-te Gluehbirne durchbrennt, und $X$ die Zeit ist bis die erste der $n$ Gluehbirnen durchbrennt, dann ist offenbar $X = [mm] \min\{ X_1, \dots, X_n \}$.
[/mm]
LG Felix
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Danke Felix,
für deine Bestätigung - es kam das richtige raus
Grüße,
Stefan
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