Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Di 25.05.2004 | | Autor: | Mandy |
Hallo,
ich habe große Probleme mit folgender Verteilungsfunktion:
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] für 0<x<1, 0 sonst
a)
Bestimmen Sie a so, dass f Dichtefunktion (einer stetigen Zufallsvariable X) ist.
b)
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).
c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und P(X<0,5)
Bei dem Aufgabenteil a) habe ich keine Probleme: a=4.
Jedoch komme ich bei den Aufgabenteilen b) und c) große Probleme. Es wäre echt super nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte!
Tausend Dank
Mandy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
so, nun habe ich etwas Zeit, allerdings muss ich gestehen, dass ich mir bei meiner Antwort sehr unsicher bin. Ich hoffe, dass jemand anderes dies nochmal kontrolliert...
> f(x) = [mm] $ax^3$ [/mm] für 0<x<1, 0 sonst ...
> Bei dem Aufgabenteil a) habe ich keine Probleme: a=4.
Ich gehe dann einfach mal davon aus, dass das stimmt (denn wenn ich das Integral über ganz [mm] $\IR$ [/mm] betrachte, kommt ja auch 1 heraus und die Nichtnegativität von f ist dann ja klar!).
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).
Sollte die dann nicht wie folgt aussehen?
$F(x)=0$, falls $x < 0$
[mm] $F(x)=x^4$, [/mm] falls $0 < x < 1$
$F(x)=1$, falls $x [mm] \ge [/mm] 1$
Dann wäre F nämlich stetig und stückweise stetig diff'bar und hätte die Dichte f, wie du sie notiert hast (mit a=4)...
> c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und P(X<0,5)
Das sollte dann doch mit dem Aufgabenteil b) gehen:
[mm] $P(X\ge0,5)=1-F(0,5)$...
[/mm]
Allerdings muss ich gestehen, dass ich in Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. Stochastik nicht gerade begabt bin. Ich hoffe dann mal, dass man mich hier verbessert/ergänzt, falls ich total daneben liege. Es ist nur der Versuch einer Antwort in einem Gebiet, in dem ich selber einige Probleme hatte/habe 
PS: Ich habe mich etwas hieran orientiert, vielleicht hilft es dir ja auch etwas:
![[]](/images/popup.gif) Folien
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mandy,
> Hallo,
>
> ich habe große Probleme mit folgender
> Verteilungsfunktion:
Äh, Dichtefunktion, oder?
> f(x) = [mm] ax^3 [/mm] für 0<x<1, 0 sonst
>
>
> a)
>
> Bestimmen Sie a so, dass f Dichtefunktion (einer stetigen
> Zufallsvariable X) ist.
Dazu muß nur gelten:
[mm] $\integral_{-\infty}^{+\infty} f(x)\;dx=1$
[/mm]
Integral nach Definitionsabschnitten aufteilen:
[mm] $\gdw\ \integral_{-\infty}^{0} f(x)\;dx+\integral_{0}^{1} f(x)\;dx+\integral_{1}^{+\infty} f(x)\;dx=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \integral_{-\infty}^{0} 0\;dx+\integral_{0}^{1} ax^3\;dx+\integral_{1}^{+\infty} 0\;dx=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \integral_{0}^{1} ax^3 \;dx=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left[ a*\bruch{1}{4}*x^4\right]_{0}^{1}=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a*\bruch{1}{4}*1^4=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] a=4$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , dein Ergebnis stimmt.
> b)
>
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).
Für eine Verteilungsfunktion gilt:
[mm] $F(x)=\integral_{-\infty}^x f(x)\;dx$
[/mm]
Nun sind hier dieselben Definitionsabschnitte zu wählen, die auch $f$ hat:
[mm] $x\le0$: $F(x)=\integral_{-\infty}^x f(x)\;dx=\integral_{-\infty}^x 0\;dx=0$
[/mm]
[mm] $0
$1<x$: [mm] $F(x)=\integral_{-\infty}^0 f(x)\;dx+\integral_{0}^1 f(x)\;dx+\integral_{1}^x f(x)\;dx=0+1+0=1$
[/mm]
Aber das hat Marcel schon alles angegeben.
> c)
>
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und
> P(X<0,5)
Für die W'keit von Intervallen gilt:
[mm] $P(\]a,b\])=\integral_a^b f(x)\;dx=F(b)-F(a)$
[/mm]
Dabei kann [mm] $a,b\in\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] sein.
Schreib uns doch mal deine Ergebnisse zum Vergleich
Viele Grüße,
Marc
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