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| Aufgabe | Sei P ein beliebiger, aber fester Punkt auf dem Einheitskreis [mm] K:=\{(x;y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}. [/mm] Der Punkt Q werde rein zufällig auf K platziert, d.h. jeder Punkt auf K ist gleichwahrscheinlich. Dabei bezeichne die Zufallsvariable X den Abstand zwischen P und Q.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der besagte Abstand größer als 1? |
Hey ich hab die obige Aufgabe, aber gar keine idee, wie ich die Verteilungsfunktion von X bekommen soll.
kann ich dabei zudem den Abstand wie bei vektoren im 2 dimensionalen benutzen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:13 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei P ein beliebiger, aber fester Punkt auf dem
> Einheitskreis [mm]K:=\{(x;y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}.[/mm] Der
> Punkt Q werde rein zufällig auf K platziert, d.h. jeder
> Punkt auf K ist gleichwahrscheinlich. Dabei bezeichne die
> Zufallsvariable X den Abstand zwischen P und Q.
>
> (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der
> Zufallsvariablen X.
> (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der besagte Abstand
> größer als 1?
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> Hey ich hab die obige Aufgabe, aber gar keine idee, wie
> ich die Verteilungsfunktion von X bekommen soll.
>
> kann ich dabei zudem den Abstand wie bei vektoren im 2
> dimensionalen benutzen???
Den musst du sogar benutzen.
Nun, zu $X$. Erstmal: $X$ nimmt nur Werte zwischen 0 und 2 (maximaler Abstand zweier Punkte auf einem Kreis mit Radius 1) an: es gilt also [mm] $F^X(x) [/mm] = 0$ fuer $x [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $F^X(x) [/mm] = 1$ fuer $x [mm] \ge [/mm] 2$.
Sei nun $x [mm] \in [/mm] (0, 2)$. Dann ist [mm] $F^X(x) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \frac{\int_K 1_{\|z - P\|\le x} dz}{\int_K dz} [/mm] = [mm] \frac{\int_X dz}{\int_K dz}$, [/mm] wobei [mm] $1_{\|z - P\|\le x}$ [/mm] die Indikatorfunktion der Menge $X = [mm] \{ z \in K \mid \|z - P\| \le x \}$ [/mm] ist. Wir nehmen jetzt einfach mal $P = (1, 0)$.
Offenbar ist [mm] $\int_K [/mm] dz = 2 [mm] \pi$. [/mm] Also, wieviel des Kreises liegt in $X$? Nun ist $X = [mm] \{ z = (z_1, z_2) \in K \mid (z_1 - 1)^2 + z_2 \le r^2 \}$. [/mm] Kannst du jetzt die Schnittpunkte zwischen dem Kreis [mm] $(z_1 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] = [mm] r^2$ [/mm] und [mm] $z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] = 1$ bestimmen? (Da $0 < r < 2$ gibt es genau zwei.)
LG Felix
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Also ich versteh schon, was du im großen und ganzen meinst mit, wie du die verteilungsfunktion definierst, wo die 1 und 0 ist. allerdings haben wir die indikatorfunktion nicht eingeführt, bzw. weiss ich nicht so recht, wie ich damit rechnen soll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 23.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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