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| Aufgabe | a) Eine Verteilungsfunktion F sei durch [mm] F(x)=P((-\infty,x]), [/mm] x aus [mm] \IR [/mm] gegeben und P ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \IR. [/mm] z.z.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1 [/mm] sowie [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0
[/mm]
b) gegeben: [mm] F(x)=\begin{cases} 0,5\exp(x), & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Ermitteln sie die Wahrscheinlichkeiten folgender ereignisse:
P({0}), P({1}), P((-1,2]), [mm] P((0,\infty)) [/mm] |
Hey haben jetzt 2 vorlesungen in stochastik gehabt aber leider haben wir nicht entsprechendes geschafft für die aufgaben oben, hab auch schon n bissl was gelesen, aber weiss nicht wirklich wie ich rangehen soll, kann mir jemand bei a) vllt nen tipp geben und bei b) macht man das mit integralen???
mfg
piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Eine Verteilungsfunktion F sei durch
> [mm]F(x)=P((-\infty,x]),[/mm] x aus [mm]\IR[/mm] gegeben und P ein beliebiges
> Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm]\IR.[/mm] z.z.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm] sowie
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm]
Dass die Verteilungsfunktion monoton steigend ist ist ja klar. Es reicht also aus, [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] F(-n) = 0$ und [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] F(n) = 1$ zu zeigen.
Nun ist ja [mm] $\emptyset [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} (-\infty, [/mm] -n)$ und [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} (-\infty, [/mm] n)$. Das solltest du jetzt benutzen, um die Behauptung zu zeigen.
Jetzt hattet ihr doch vermutlich eine Art Resultat ueber die Stetigkeit von oben/unten bei Wahrscheinlichkeitsmassen. Benutze das doch mal.
> b) gegeben: [mm]F(x)=\begin{cases} 0,5\exp(x), & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Ermitteln sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
> ereignisse:
> P({0}), P({1}), P((-1,2]), [mm]P((0,\infty))[/mm]
>
> und bei b) macht man das mit integralen???
Nein, Integrale brauchst du nicht. Nur soetwas wie $P(A [mm] \setminus [/mm] B) = P(A) - P(B)$ wenn $B [mm] \subseteq [/mm] A$ ist. Beachte jetzt z.B. $(-1, 2] = [mm] (-\infty, [/mm] 2] [mm] \setminus (-\infty, [/mm] -1]$ und $(0, [mm] \infty) [/mm] = [mm] (-\infty, \infty) \setminus (-\infty, [/mm] 0]$.
Fuer [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] (und aehnlich dann fuer [mm] $\{ 1 \}$) [/mm] kannst du [mm] $(-\infty, [/mm] 0] - [mm] (-\infty, [/mm] 0)$ nehmen, wobei du [mm] $(-\infty, [/mm] 0) = [mm] \bigcup_{\varepsilon < 0} (-\infty, \varepsilon]$ [/mm] schreiben kannst.
LG Felix
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