Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Es sei X gleichverteilt auf [0,2]. Man bestimme die Verteilungsfunktion von
Y = X(2 - X). Besitzt die Verteilung eine Dichte? |
Hallo,
ich verstehe nicht, wie man überhaupt Verteilungsfunktionen bestimmt. Wir haben die in der VL nur definiert. Vielleicht kann mir jemand ein Beispiel schreiben, wie man so was macht.
Damit ich eine Idee zum Lösen dieser Aufgabe erhalte. Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Y ist [mm] F(y)=P(Y\le [/mm] y).
Angenommen, du moechtest die Verteilungsfunktion von [mm] $Y=X^2$ [/mm] bestimmen. Dann musst du zunnaechst einmal klaeren, fuer welche y-Werte das sinnvoll ist. Da X Werte zwischen 0 und 2 annimmt, nimmt Y Werte an zwischen 0 und 4. Sei also [mm] y\in\IR [/mm] mit 0<y<4:
[mm] P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y}=\dots
[/mm]
Der Trick besteht also darin, die Verteilungsfunktion von Y auf die von X
zurueckzufuehren.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
also wenn ich das jetzt soweit richtig überdacht habe, dann ist mein y [mm] \in \IR [/mm] mit 0<y<1.
Dann hab ich ja:
P(Y [mm] \le y)=P(X(2-X)\ley)=P(X\le\bruch{y}{2-x})=P(X\le\bruch{1}{2}) [/mm] ,da [mm] y\in(0,1) [/mm] und [mm] x\in(0,2) [/mm]
=P(X [mm] \le [/mm] x)
Kann ich doch so nicht machen, oder?? Kommt mir komisch vor.
Hab ich das richtig verstanden, dass ich das dann auf P(X [mm] \le [/mm] x) bringen muss??
Danke schonmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
hab jetzt keine Zeit. Antworte morgen (oder ein anderer).
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey, ich hab die Aufgabe auch mal versucht..bin mir aber sehr sehr unsicher^^
Sei X gleichverteilt auf [0,2]
Y=X(2-X) [mm] \in [/mm] [0,1] => Sei y [mm] \in[0,1] [/mm] bel. gegeben.
Dann gilt:
[mm] F_Y(y) [/mm] = [mm] P(Y\le [/mm] y) = [mm] P(2X-X^2 \le [/mm] y] = P(X [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \sqrt{1+y}) [/mm] + P(X [mm] \ge [/mm] 1- [mm] \sqrt{1+y})
[/mm]
= P(X [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \sqrt{1+y}) [/mm] + 1- P(X [mm] \le [/mm] 1- [mm] \sqrt{1+y})
[/mm]
(An dieser Stelle hab ich im Internet eine Formel für die Verteilungsfunktion gleichverteilter ZV auf [a,b] gefunden (in meiner Vorlesung hab ich ähnliches gar nciht gefunden..) F(x) = (x-a)/(b-a)
...Muss ich dann denn hier b= 1 oder b=2 wählen?)
= [mm] 1+2*\sqrt{1+y} [/mm] wenn b=1 ist
oder [mm] 1+\sqrt{1+y} [/mm] wenn b=2 ist..
Kann man das denn so machen oder hab ich hier nur Schwachsinn gerechnet?
Wie zeigt man denn nun, ob es hier eine Dichtefunktion gibt?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!!
Viele Grüße,
Damn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 06.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hey, ich hab die Aufgabe auch mal versucht..bin mir aber
> sehr sehr unsicher^^
>
> Sei X gleichverteilt auf [0,2]
> Y=X(2-X) [mm]\in[/mm] [0,1] => Sei y [mm]\in[0,1][/mm] bel. gegeben.
> Dann gilt:
> [mm]F_Y(y)[/mm] = [mm]P(Y\le[/mm] y) = [mm]P(2X-X^2 \le[/mm] y] = P(X [mm]\le[/mm] 1+
> [mm]\sqrt{1+y})[/mm] + P(X [mm]\ge[/mm] 1- [mm]\sqrt{1+y})[/mm]
> = P(X [mm]\le[/mm] 1+ [mm]\sqrt{1+y})[/mm] + 1- P(X [mm]\le[/mm] 1- [mm]\sqrt{1+y})[/mm]
>
> Hey, ich hab die Aufgabe auch mal versucht..bin mir aber
> sehr sehr unsicher^^
>
> Sei X gleichverteilt auf [0,2]
> Y=X(2-X) [mm]\in[/mm] [0,1] => Sei y [mm]\in[0,1][/mm] bel. gegeben.
Du hast Recht. Ich als dein Pruefer wuerde allerdigs sofort fragen: Wieso
gilt:
$Y=X(2-X) [mm] \in [/mm] [0,1]$ => [mm]y\in[0,1][/mm] ?
Wieso denn jenes?:
> Dann gilt:
> [mm]F_Y(y)[/mm] = [mm]P(Y\le[/mm] y) = [mm]P(2X-X^2 \le[/mm] y) = P(X [mm]\le[/mm] 1+
> [mm]\sqrt{1+y})[/mm] + P(X [mm]\ge[/mm] 1- [mm]\sqrt{1+y})[/mm]
> = P(X [mm]\le[/mm] 1+ [mm]\sqrt{1+y})[/mm] + 1- P(X [mm]\le[/mm] 1- [mm]\sqrt{1+y})[/mm]
*Ich* erhalte [mm] $P(Y\le y)=P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y})$
[/mm]
> (An dieser Stelle hab ich im Internet eine Formel für die
> Verteilungsfunktion gleichverteilter ZV auf [a,b] gefunden
> (in meiner Vorlesung hab ich ähnliches gar nciht
> gefunden..) F(x) = (x-a)/(b-a)
> ...Muss ich dann denn hier b= 1 oder b=2 wählen?)
a=0 und b=2.
>
> = [mm]1+2*\sqrt{1+y}[/mm] wenn b=1 ist
> oder [mm]1+\sqrt{1+y}[/mm] wenn b=2 ist..
>
> Kann man das denn so machen oder hab ich hier nur
> Schwachsinn gerechnet?
Nein, nein. Ausser ein paar Unwuchten.
>
>
> Wie zeigt man denn nun, ob es hier eine Dichtefunktion
> gibt?
Leite [mm] F_y [/mm] (spaeter) ab.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 So 07.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Danke danke danke schon mal!
Oh man das ärgert mich echt, dass ich mich so blöd verrechnet hab...
natürlich gilt: $ [mm] P(Y\le y)=P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y}) [/mm] $
Kann man das denn jetzt eigentlich so auseinander ziehen wie ich es eben versucht habe?
Also gilt:
$ [mm] P(Y\le y)=P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y}) [/mm] $ = P(X [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \sqrt{1-y}) [/mm] +1- P(X [mm] \le [/mm] 1- [mm] \sqrt{1-y} [/mm] ) =...= 1+ [mm] \sqrt{1-y} [/mm] ??
oder darf man das gar nicht machen? wenn ja.. wie berechnet man [mm] P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y}) [/mm] denn dann?
Viele Grüße,
Damn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 07.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Bin leider in eine von dir aufgestellte Falle getappt( ). Es gilt
naemlich:
$ [mm] P(Y\le y)=1-P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y})$
[/mm]
(Zeichne mal $x(2-x)$ im Intervall [0,2]. Wo gilt [mm] $x(2-x)\le [/mm] y$ fuer $0<y<1$?)
Okay, wir haben $ [mm] P(Y\le y)=1-P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y}) [/mm] $
Die Verteilungsfunktion von X ist [mm] $F_x(x)= [/mm] (x-a)/(b-a)=x/2$ fuer $0<x<2$.
Eingesetzt erhalte ich fuer 0<y<1:
[mm] $F_y(y)=1-P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y})=1-(F_x(1+\sqrt{1-y})-F_x(1-\sqrt{1-y}))=1-\sqrt{1-y}$.
[/mm]
(Kleine Probe: [mm] F_y(0)=0 [/mm] und [mm] F_y(1)=1)
[/mm]
Die Dichte ist folglich [mm] $f_y(y)=\frac{1}{2\sqrt{1-y}}$ [/mm] fuer 0<y<1 und [mm] $f_y(y)=0$ [/mm] sonst.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 07.12.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
hab noch eine 'kleine' Frage xD
Mh ja mir ist auch schon in den Sinn gekommen, dass ich mich wieder vertan hatte und ich hatte dann raus:
$ [mm] P(Y\le y)=P(1+\sqrt{1-y}\le X\le 1-\sqrt{1-y}) [/mm] $
Habs mir auch aufgezeichnet und alles..
Nur wäre ja [mm] P(1+\sqrt{1-y}\le X\le 1-\sqrt{1-y}) [/mm] = 1 [mm] -P(1-\sqrt{1-y}< [/mm] X< [mm] 1+\sqrt{1-y}) [/mm] oder nicht? Wie mach ich das denn hier mit den Gleichheitsfällen?
Oh man irgendwie bekomm ich das nicht gebacken..
Ich hoffe du kannst mir noch einmal helfen!
Danke schon mal!!
Viele Grüße,
Damn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 07.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Nur wäre ja [mm]P(1+\sqrt{1-y}\le X\le 1-\sqrt{1-y})[/mm] = 1
> [mm]-P(1-\sqrt{1-y}<[/mm] X< [mm]1+\sqrt{1-y})[/mm] oder nicht? Wie mach ich
> das denn hier mit den Gleichheitsfällen?
Du musst bedenken, dass X stetig verteilt ist, so dass gilt $P(X=x)=0$. Folglich ist beispielsweise
[mm] $P(1-\sqrt{1-y}< [/mm] X< [mm] 1+\sqrt{1-y}) =P(1-\sqrt{1-y}\le X\le 1+\sqrt{1-y}) =P(1-\sqrt{1-y}< X\le 1+\sqrt{1-y})$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
