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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 29.01.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Tetraeder trägt die Zahlen 1,2,3,4. Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt der einzelnen Ereignisse lautet:
P(X=1) = 1/4, P(X=2) = 1/3, P(X=3) = 1/4, P(X=4) = 1/6.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei einem viermaligen Wurf eine vierstellige Zahl gezogen wird, die aus lauter verschiedenen Zahlen besteht.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X)
c) Es wird folgendes Glücksspiel angeboten. Der Tetraeder wird jeweils einmal geworfen. Einsatz = 5, Gewinn = 2 mal Würfelwert. Die Gewinnfunktion lautet G = 2X - 5.
c1) Geben Sie ein Strichdiagramm und die Verteilungsfunktion F an.
c2) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Gewinn / Verlust. Wann wäre das Spiel fair?
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Was ich nicht weiss, wie ich die Verteilungsfunktion bestimmen kann. Und welche Verteilung überhaupt vorliegt?
Zu a)
P = Anzahl der Permutationen (also 4*4*4*4) mal P(X=1)*P(X=2)*P(X=3)*P(X=4)
also 24 * 1/3 * 1/4 * 1/4 * 1/6.
Zu b)
E(X) = 1/4 *1 + 1/3*2 + 1/4*3 + 1/6*4 = 7/3
Zu c1)
Gut, das Strichdiagramm erhalte ich, wenn ich die Werte von X und die zugeordneten Werte G(X) in ein Diagramm zeichne. Aber was ist mit der Verteilungsfunktion. Es ist ja weder eine Laplace-Verteilung, noch eine Binomialverteilung, noch eine Poisson-Verteilung... :-( ---> ???
Zu c2)
c2) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Gewinn / Verlust. Wann wäre das Spiel fair?
G = 2 E(X) - 5 = - 1/3.
Das Spiel wäre fair bei einem Einsatz von 4 2/3 [].
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo hase-hh!
> Ein Tetraeder trägt die Zahlen 1,2,3,4. Die
> Wahrscheinlichkeit für den Eintritt der einzelnen
> Ereignisse lautet:
>
> P(X=1) = 1/4, P(X=2) = 1/3, P(X=3) = 1/4, P(X=4) = 1/6.
>
> a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei
> einem viermaligen Wurf eine vierstellige Zahl gezogen wird,
> die aus lauter verschiedenen Zahlen besteht.
>
> b) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X)
>
> c) Es wird folgendes Glücksspiel angeboten. Der Tetraeder
> wird jeweils einmal geworfen. Einsatz = 5, Gewinn = 2 mal
> Würfelwert. Die Gewinnfunktion lautet G = 2X - 5.
>
> c1) Geben Sie ein Strichdiagramm und die
> Verteilungsfunktion F an.
>
> c2) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Gewinn / Verlust.
> Wann wäre das Spiel fair?
>
>
> Was ich nicht weiss, wie ich die Verteilungsfunktion
> bestimmen kann. Und welche Verteilung überhaupt vorliegt?
>
> Zu a)
>
> P = Anzahl der Permutationen (also 4*4*4*4)
Du meinst hier $4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 = 24$.
> mal
> P(X=1)*P(X=2)*P(X=3)*P(X=4)
>
> also 24 * 1/3 * 1/4 * 1/4 * 1/6.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b)
>
> E(X) = 1/4 *1 + 1/3*2 + 1/4*3 + 1/6*4 = 7/3
> Zu c1)
>
> Gut, das Strichdiagramm erhalte ich, wenn ich die Werte von
> X und die zugeordneten Werte G(X) in ein Diagramm zeichne.
> Aber was ist mit der Verteilungsfunktion. Es ist ja weder
> eine Laplace-Verteilung, noch eine Binomialverteilung, noch
> eine Poisson-Verteilung... :-( ---> ???
Rechne zunächst die Verteilung von $G$ aus. $G$ kann die folgenden vier Werte annehmen: $-3$, $-1$, $1$ und $3$.
Nun gilt etwa_
$P(G=-3) = P(2X-5=-3) = P(2x=2) = P(X=1) = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
usw.
Nun weißt du, wenn [mm] $F_G$ [/mm] die Verteilungsfunktion von $G$ ist, dass für $x [mm] \in \{-3,-1,1,3\}$ [/mm]
[mm] $F_G(x) [/mm] = P(G [mm] \le [/mm] x) = P(G=-3) + [mm] \ldots [/mm] + P(X=x)$
gilt.
Damit kannst du die Verteilungsfunktion berechnen...
> Zu c2)
>
> c2) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Gewinn / Verlust.
> Wann wäre das Spiel fair?
>
> G = 2 E(X) - 5 = - 1/3.
>
> Das Spiel wäre fair bei einem Einsatz von 4 2/3 [].
Liebe Grüße
Julius
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