www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilungsfunktion-Eig
Verteilungsfunktion-Eig < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verteilungsfunktion-Eig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Do 02.05.2013
Autor: sissile

Aufgabe
[mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) , X eine Zufallsvariable
Verteilungsfunktion: Die durch F(t)= P(X [mm] \le [/mm] t)= [mm] P_x ((-\infty,t)) [/mm]
F: [mm] \IR [/mm] -> [0,1] definierte Funktion heißt Verteilungsfunktion von der Zufallsvariable X.

Zeigen Sie
1) a [mm] \le [/mm] b => F(a) [mm] \le [/mm] F(b)
2) [mm] lim_{a->-\infty} [/mm] F(a)=0, [mm] lim_{a->\infty} [/mm] F(a)=1

1) a [mm] \le [/mm] b
Also gilt trivialerweise (- [mm] \infty, [/mm] a[ [mm] \subset [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] b]
Nun nutze ich die Monotonie der Maße => [mm] P_x ((-\infty,a]) \le P_x ((-\infty,b]) [/mm]
=> F(a) [mm] \le [/mm] F(b)

2)
Hätet ihr für zwei einen Tipp für mich.
Ich bim am basteln von Durchschnitten sodass ich die Stetigkeit ausnutzen kann. Hab es aber noch nicht hinbekommen..

        
Bezug
Verteilungsfunktion-Eig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:05 Fr 03.05.2013
Autor: tobit09

Hallo sissile,


>  1) a [mm]\le[/mm] b => F(a) [mm]\le[/mm] F(b)

>  1) a [mm]\le[/mm] b
>  Also gilt trivialerweise (- [mm]\infty,[/mm] a[ [mm]\subset[/mm] (- [mm]\infty,[/mm]
> b]
>  Nun nutze ich die Monotonie der Maße => [mm]P_x ((-\infty,a]) \le P_x ((-\infty,b])[/mm]

>  
> => F(a) [mm]\le[/mm] F(b)

[ok]


>  2) [mm]lim_{a->-\infty}[/mm] F(a)=0, [mm]lim_{a->\infty}[/mm] F(a)=1

> 2)
>  Hätet ihr für zwei einen Tipp für mich.
>  Ich bim am basteln von Durchschnitten sodass ich die
> Stetigkeit ausnutzen kann. Hab es aber noch nicht
> hinbekommen..

Gute Idee!

Wie war nochmal die Definition von Limiten von Funktionen wie [mm] $\lim_{a\to-\infty}F(a)$? [/mm]

Für den ersten Limes ist also eine beliebig vorgegebene Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ [/mm] zu betrachten und [mm] $\lim_{n\to\infty}F(a_n)=0$ [/mm] zu zeigen.

Ohne Einschränkung kann die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] dabei als monoton fallend angenommen werden.
(Das zu zeigen, macht etwas Arbeit (Analysis 1 lässt grüßen...), ist aber aus meiner Sicht anschaulich recht plausibel und hat nichts mit WT zu tun.)

Zeige nun [mm] $\lim_{n\to\infty}F(a_n)=0$ [/mm] mithilfe der Definition von $F$ und der Stetigkeit von $P$ oder [mm] $P_X$! [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Verteilungsfunktion-Eig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Fr 03.05.2013
Autor: sissile

Hallo

[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] lim_{n-> \infty} a_n [/mm] = - [mm] \infty [/mm]

ZZ.: [mm] lim_{n->\infty} F(a_n)=0 [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} F(a_n)= lim_{n->\infty} [/mm] P(X [mm] \le a_n) [/mm] = P(X [mm] \le a_n \forall [/mm] n [mm] \in \IN)= P_x [/mm] ( [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n]) [/mm]
Nun bin ich mir nicht ganz sicher, warum das 0 ist.
"heuristisch" würd ich argumentieren: [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n] [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] P_X( \emptyset)=0 [/mm]

Für: [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] lim_{n-> \infty} a_n [/mm] =  [mm] \infty [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} F(a_n) =P_x [/mm] ( [mm] \bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n]) [/mm]
[mm] bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n] [/mm] = [mm] \Omega [/mm]
[mm] P_x (\Omega)=1 [/mm]


LG

Bezug
                        
Bezug
Verteilungsfunktion-Eig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Sa 04.05.2013
Autor: tobit09


> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]lim_{n-> \infty} a_n[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
>  
> ZZ.: [mm]lim_{n->\infty} F(a_n)=0[/mm]
>  [mm]lim_{n->\infty} F(a_n)= lim_{n->\infty}[/mm]
> P(X [mm]\le a_n)[/mm] = P(X [mm]\le a_n \forall[/mm] n [mm]\in \IN)= P_x[/mm] (
> [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])[/mm]

Warum gilt das mittlere Gleichheitszeichen?

>  Nun bin ich mir nicht
> ganz sicher, warum das 0 ist.
>  "heuristisch" würd ich argumentieren: [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n][/mm]
> = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]P_X( \emptyset)=0[/mm]

Das ist auch korrekt. [mm] $P_X(\emptyset)=0$, [/mm] weil [mm] $P_X$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Und [mm] $\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]=\emptyset$ [/mm] wegen [mm] $a_n\to-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$. [/mm]

Denn angenommen [mm] $b\in\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n

> Für: [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]lim_{n-> \infty} a_n[/mm] =  [mm]\infty[/mm]
>  [mm]lim_{n->\infty} F(a_n) =P_x[/mm] ( [mm]\bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n])[/mm]

Abgesehen davon, dass du sicherlich [mm] $\bigcup$ [/mm] statt [mm] $\bigcap$ [/mm] meinst: Gleiche Frage wie oben: Begründung?

> [mm]bigcap_{n\in \IN} (-\infty, a_n][/mm] = [mm]\Omega[/mm]
>  [mm]P_x (\Omega)=1[/mm]

Ansonsten: [ok] = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]P_X( \emptyset)=0[/mm]
Das ist auch korrekt. [mm] $P_X(\emptyset)=0$, [/mm] weil [mm] $P_X$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Und [mm] $\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]=\emptyset$ [/mm] wegen [mm] $a_n\to-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$. [/mm]

Denn angenommen [mm] $b\in\bigcap_{n\in\IN}(-\infty,a_n]$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]