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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:29 Fr 05.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega:=\{Z,W\}^{\infty}:=\{(w_1,w_2,...)|w_i\in\{Z,W\},i\in\IN\} [/mm] und sei weiter [mm] [w_1,...,w_n]:=\{(w_1,w_2,...,w_n,\eta_{n+1},\eta_{n+2},...)|\eta_j\in\{Z,W\},j\ge n+1\}.
[/mm]
Dann ist [mm] S:=\{\emptyset\}\cup \{[w_1,...,w_n]|w_i\in\{Z,W\}, i\in\{1,...,n\},n\in\IN\} [/mm] ein Semirung in [mm] \Omega. [/mm] Setze F:=F(S) und betrachte den W-raum [mm] ([0,1),B\cap[0,1),Q) [/mm] wobei Q die Gleichverteilung auf [0,1) ist und B die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] (Erzeuger ist hier das System aller offenen Mengen im Raum [mm] \IR).
[/mm]
a) Sei [mm] a=\sum_{i=1}^{\infty} a_i*2^{-i} [/mm] die binäre Darstellung für [mm] a\in[0,1) [/mm] mit [mm] a_i=0 \infty-oft.
[/mm]
Sei Y: [mm] [0,1)\rightarrow \Omega [/mm] definiert durch [mm] Y(a):=(w_1,w_2,...) [/mm] wobei [mm] w_i:=\begin{cases}
W & \text{falls }a_i=0\\
Z & \text{falls }a_i=1.
\end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass Y eine [mm] (\Omega,F)-ZV [/mm] ist und bestimmen Sie ihre Verteilung [mm] P=Q_Y.
[/mm]
(Hinweis: Eindeutigskeitssatz für Maße.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Mathe-Freunde,
ich brüte im Moment über obiger Mammutaufgabe und komme nicht weiter.
Bisher hab ich mir folgendes überlegt:
Um zu zeigen, dass Y eine [mm] (\Omega,F)-ZV [/mm] ist, genügt es zu zeigen, dass Y eine [mm] B\cap[0,1)-F-messbare [/mm] Funktion ist
bzw. [mm] Y^{-1}(A)\in B\cap[0,1) [/mm] für alle [mm] A\in [/mm] F.
Allerdings könnt ich hier ein paar Tipps vertragen wie ich das machen kann.
Wie ich im zweiten Teil vorgehe ist mir völlig unklar eigentlich allgemein was ich bei der Bestimmung von Verteilungen anstellen soll. Ich wäre für jedewede Hilfe, Lösungsvorschläge und dergleichen dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Sa 06.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei
> [mm]\Omega:=\{Z,W\}^{\infty}:=\{(w_1,w_2,...)|w_i\in\{Z,W\},i\in\IN\}[/mm]
> und sei weiter
> [mm][w_1,...,w_n]:=\{(w_1,w_2,...,w_n,\eta_{n+1},\eta_{n+2},...)|\eta_j\in\{Z,W\},j\ge n+1\}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]S:=\{\emptyset\}\cup \{[w_1,...,w_n]|w_i\in\{Z,W\}, i\in\{1,...,n\},n\in\IN\}[/mm]
> ein Semirung in [mm]\Omega.[/mm] Setze F:=F(S) und betrachte den
> W-raum [mm]([0,1),B\cap[0,1),Q)[/mm] wobei Q die Gleichverteilung
> auf [0,1) ist und B die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm] (Erzeuger
> ist hier das System aller offenen Mengen im Raum [mm]\IR).[/mm]
>
> a) Sei [mm]a=\sum_{i=1}^{\infty} a_i*2^{-i}[/mm] die binäre
> Darstellung für [mm]a\in[0,1)[/mm] mit [mm]a_i=0 \infty-oft.[/mm]
> Sei Y:
> [mm][0,1)\rightarrow \Omega[/mm] definiert durch [mm]Y(a):=(w_1,w_2,...)[/mm]
> wobei [mm]w_i:=\begin{cases}
W & \text{falls }a_i=0\\
Z & \text{falls }a_i=1.
\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass Y eine [mm](\Omega,F)-ZV[/mm] ist und bestimmen Sie
> ihre Verteilung [mm]P=Q_Y.[/mm]
> (Hinweis: Eindeutigskeitssatz für Maße.)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Mathe-Freunde,
> ich brüte im Moment über obiger Mammutaufgabe und komme
> nicht weiter.
> Bisher hab ich mir folgendes überlegt:
> Um zu zeigen, dass Y eine [mm](\Omega,F)-ZV[/mm] ist, genügt es zu
> zeigen, dass Y eine [mm]B\cap[0,1)-F-messbare[/mm] Funktion ist
> bzw. [mm]Y^{-1}(A)\in B\cap[0,1)[/mm] für alle [mm]A\in[/mm] F.
> Allerdings könnt ich hier ein paar Tipps vertragen wie ich
> das machen kann.
Es reicht zu zeigen, dass die Urbilder von Erzeugern der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] messbar sind. Und die Erzeuger sind von der Form [mm] $[w_1,...,w_n]$. [/mm] Wie sieht denn [mm] $Y^{-1}([w_1, \dots, w_n])$ [/mm] aus?
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 04:56 Sa 06.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich habs mir jetzt nochmal angeschaut. Also es muss doch gelten [mm] Y^{-1}([w_1,w_2,...,w_n])=a=\sum_{i=1}^{\infty} a_i*2^{-i} [/mm] und mit [mm] a\in[0,1) [/mm] und [mm] B\cap[0,1)=[0,1) [/mm] wäre dann bereits gezeigt, dass Y eine [mm] (\Omega,F)-ZV [/mm] ist oder nicht?
Könnte mir noch jemand ein paar Tipps zum Vorgehen im zweiten Teil geben? ich hab da keine Idee wie ich beim Bestimmen der Verteilung vorgehen soll. Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 07.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Keiner ne Idee oder an Hinweis wie ich da vorgehen soll? Wär euch sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 08.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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