Verteilung von X+Y < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 Do 06.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi @ all,
ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich nicht ganz weiterkomme. Ich werde diese euch erstmal vorstelle.
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. Beide seien im Intervall [a,b] gleichverteilt. Berechnen Sie die Verteilung Vom X+Y und geben Sie den Mittelwert und Varianz von X+Y an.
Also, ich weiß, dass ich für den ersten Aufgabenteil die
Formel: g(x)= [mm] \integral_{- \infty}^{+ \infty} [/mm] {f(x-y)} *f(y) dx
benutzen muss.
Ich brauchr also eine Funktion für X und Y. Da in der Aufgabe steht das die beiden Zufallsvariablen gleichverteilt sind, habe ich mir gedacht, das es sich um die Funktion 1/(b-a) handelt. Aber ich kann damit nicht weiterarbeiten, da in der Funktion kein x oder y drin steht. Was ist hier mein denkfehler??? Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen. Ich danke schonmal im vorraus!!!!!!!!!!!
Ares
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 06.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ares!
Ganz genau handelt es sich bei der Dichte der Gleichverteilung auf $[a,b]$ um die Funktion
$f(x) = [mm] \frac{1_{[a,b]}(x)}{b-a} [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{b-a} & , & \mbox{falls} \ x \in [a,b],\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array}\right.$
[/mm]
Willst du es mit dieser Info jetzt noch einmal versuchen?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi Stefan,
das hat mir zwar geholfen, komme aber bei einer stelle nicht weiter. Ih schreibe mal auf, was ich bis jetzt gemacht habe:
ich habe gesetzt: X= 1(x)/b-a
Y= 1(y)/b-a
darasu folgt nun: g(x)= [mm] \integral_{- \infty}^{+ \infty} [/mm] (x-y)/(b-a)*y/(b-a)
der erste Bruch hat den Interval [a<x-y<b]
der zweite hat den Intervall [a<y<b]
nun muss ich ja neue Grenzen erstellen, aber ich weiß nicht wie. Oder ist der Rechenweg nicht richtig? Ich hoffe, dass du mir noch ein Tip geben kannst!
MFG Ares
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ares!
Wir haben ja
$g(x) = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1_{[a,b]}(x-y)}{b-a} \cdot \frac{1_{[a,b]}(y)}{b-a}\, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_{a}^b \frac{1_{[a,b]}(x-y)}{(b-a)^2}\, [/mm] dy$
$= [mm] \frac{1}{(b-a)^2} \int\limits_a^b 1_{[a,b]}(x-y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \frac{1}{(b-a)^2} \int\limits_a^b 1_{[x-b,x-a]}(y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \frac{\min(b,x-a) - \max(a,x-b)}{(b-a)^2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
