Verteilung bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine positive reelle Zahl c und eine auf (0,1) gleichverteilte Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße Y sei definiert durch [mm] Y = [-\bruch{1}{c}lnX] [/mm], wobei [] den ganzen Anteil einer Zahl beschreibt, d.h. also [mm] Y = k \gdw ck \le -lnX < c(k+1) [/mm] für k = 1,2,3,...
Bestimmen Sie die Verteilung von Y. Zu welcher Familie von Verteilunegn gehört diese Verteilung? |
Hallo, ich bereite mich gerade auf meine Klausur in Wahrscheinlichkeitstheorie vor und verzweifle an dieser Aufgabe. Ich habe folgende Idee dazu:
[mm] P(Y = k) = P(ck \le -lnX < c(k+1))
= P(-c(k+1) < lnX \le -ck)
= P(e^{-c(k+1)} < X \le e^{-ck})
= F_{X}(e^{-ck}) - F_{X}(e^{-c(k+1)}) [/mm] wobei [mm] F_{X} [/mm] die Verteilungfunktion für die Gleichverteilung auf (0,1) ist
Nun kann ich die Argumente der Funktion ja spielend in die Verteilungsfunktion einsetzen und die dann ausrechnen. Dabei fallen einige Fallbetrachtungen bei der Gleichverteilung weg, da ja z.B. [mm] 0 \le e^{-ck} \le 1 [/mm] für alle k.
Dann erhalte ich aber: [mm] P(Y = k) = e^{-ck } - e^{-c(k+1) }
= e^{ - ck }(1 - \bruch{1}{e^c}) [/mm]
Das sieht ja erstmal garnicht so schlecht aus, aber ich bekomme zur Korrektur nicht nachgewiesen, dass das ein W-Maß ist.
Es muss dann ja gelten: [mm] (1 - \bruch{1}{e^c})\summe_{k=0}^{\infty}e^{-ck} = 1 [/mm], wobeo P(Y < 0) = 0 ist. Allerdings kommt da bei mir nicht 1 raus, ich bekomme da eigentlich garnichts so recht gescheites heraus :D
Habe ich vlt irgendwo einen Fehler gemacht?
Vielen Dank
lg, Anja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mi 13.02.2008 | | Autor: | ski-freak |
Mir ist gerade noch eine Idee gekommen, womit ich evntl. nachweisen kann, dass die Geschichte ein W-Maß ist.
[mm]
(1 - \bruch{1}{e^c})\summe_{k=0}^{\infty}e^{-ck} =
(1 - \bruch{1}{e^c})\bruch{e^c}{e^c}\summe_{k=0}^{\infty}e^{-ck} =
(e^c - 1)\summe_{k=0}^{\infty}e^{-c(k+1)} =
e^c\summe_{k=0}^{\infty}e^{-c(k+1)} - \summe_{k=0}^{\infty}e^{-c(k+1)} =
\summe_{k=0}^{\infty}e^{-ck} - \summe_{k=1}^{\infty}e^{-ck} =
e^0 = 1
[/mm]
Kann man das so machen? :D
Nur zu welcher Familie von Verteilungen gehört die Geschichte?
Danke...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mi 13.02.2008 | | Autor: | ski-freak |
Hallo Louis,
vielen Dank! Wenn man das ganze mal genau betrachtet, dann sieht man das da wirklich :D Manchmal fehlt einfach nur der kleine Hinweis ^^
Mir wurde das Forum hier von meinem Freund empfohlen, der ist hier tätig. Allerdings hat er gerade ein bisschen Stress, von daher kann er mir z.Z. nicht helfen (sonst macht er das immer) :D - da hat er mich auf das Forum verwiesen
lg, Anja
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Da