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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilung, Bedingte WS , ZV
Verteilung, Bedingte WS , ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilung, Bedingte WS , ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 Fr 24.05.2013
Autor: sissile

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Seien X,Y unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in \IZ_+. Es gelte
P(X=k| X+Y=n)= \frac{1}{n+1} für alle 0 \le k \le n
Bestimmen Sie die Verteilung von X (und also auch Y)

Hallo
Gesucht P(X=k)=?, P(Y=k)=? wobei k \in \IZ_+

$\frac{1}{n+1} = P(X=k | X+Y=n) = \frac{P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})}{P(\{X+Y=n\})$=(*)

Nun: P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})= P(Y=n-k \cap X=k )= P(Y=n-k)*P(X=k)
wobei das zweite Gleichheitszeichen die Unabhängigkeit ist.

P(\{X+Y=n\} = \sum_{k=0}^n P(X+Y=n, X=k)= \sum_{k=0}^n P(Y=n-k,X=k)=\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)

(*)$=\frac{P(Y=n-k)*P(X=k)}{\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)}$
Was mache ich alles falsch ?
Hatte auch noch andere Ideen, aber die haben sich im Wald verlaufen ;)

        
Bezug
Verteilung, Bedingte WS , ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Sa 25.05.2013
Autor: tobit09

Hallo sissile,


> Seien X,Y unabhängige, identisch verteilte
> Zufallsvariablen mit Werten in [mm]\IZ_+.[/mm] Es gelte
> P(X=k| X+Y=n)= [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] für alle 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
>  Bestimmen Sie die Verteilung von X (und also auch Y)

>  Gesucht P(X=k)=?, P(Y=k)=? wobei k [mm]\in \IZ_+[/mm]
>  
> [mm]\frac{1}{n+1} = P(X=k | X+Y=n) = \frac{P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})}{P(\{X+Y=n\})[/mm]=(*)
>  
> Nun: [mm]P(\{X+k\} \cap \{X+Y=n\})=[/mm] P(Y=n-k [mm]\cap[/mm] X=k )=
> P(Y=n-k)*P(X=k)
>  wobei das zweite Gleichheitszeichen die Unabhängigkeit
> ist.
>  
> [mm]P(\{X+Y=n\}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] P(X+Y=n, X=k)= [mm]\sum_{k=0}^n P(Y=n-k,X=k)=\sum_{k=0}^n[/mm]
> P(Y=n-k) P(X=k)
>  
> (*)[mm]=\frac{P(Y=n-k)*P(X=k)}{\sum_{k=0}^n P(Y=n-k) P(X=k)}[/mm]
>  
> Was mache ich alles falsch ?

Gar nichts.

(Du könntest noch ins Spiel bringen, dass X und Y identisch verteilt sind.)


Nach stundenlangen Versuchen bin ich mit folgendem Ansatz zu einer Lösung gekommen:

Idee ist, für beliebiges [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ und $P(X=k+1)$ miteinander in Beziehung zu setzen, um $P(X=k+1)$ aus $P(X=k)$ zu berechnen und so durch eine iterierte Anwendung zu einer Formel für $P(X=k)$ in Abhängigkeit von $P(X=0)$ zu gelangen.

Starte mit

     [mm] $P(X=k)=\sum_{m=0}^\infty [/mm] P(X=k, [mm] Y=m)=P(X=k,Y=0)+\sum_{m=1}^\infty P(X=k,Y=m)=P(X=k)\underbrace{P(Y=0)}_{=P(X=0)}+\sum_{n=k+1}^\infty [/mm] P(X=k,X+Y=n)$

sowie

     [mm] $P(X=k+1)=\sum_{m=0}^\infty P(X=k+1,Y=m)=\sum_{n=k+1}^\infty [/mm] P(X=k+1,X+Y=n)$.

Zeige

     $P(X=k,X+Y=n)=P(X=k+1,X+Y=n)$

für alle [mm] $n\ge [/mm] k+1$.

Setze dann alles von mir genannte zusammen.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Verteilung, Bedingte WS , ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:13 Di 28.05.2013
Autor: sissile

Hallo,
ich hätte eine Fragen dazu:
-) Wieso ist P(Y=0)=P(X=0) ?
-) SInd die Beistriche bei dir die Bedingtheite? Bzw. wieso kommen die da gar nicht vor?

> Zeige

>      $ P(X=k,X+Y=n)=P(X=k+1,X+Y=n) $

> für alle $ [mm] n\ge [/mm] k+1 $.

Weil wenn das Bedingheiten wären, würde dies aus der Angabe folgen?
Die verwendest du aber gar nicht?


Bezug
                        
Bezug
Verteilung, Bedingte WS , ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Di 28.05.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  ;-) Wieso ist P(Y=0)=P(X=0) ?

X und Y sind identisch verteilt. Das heißt?

>  ;-) SInd die Beistriche bei dir die Bedingtheite? Bzw. wieso kommen die da gar nicht vor?

Komms sind eine Kurzschreibweise für "und" bzw "geschnitten".

P(X=k,X+Y=n) heißt also [mm] $P\left(\{X=k\} \cap \{X+Y = n\}\right)$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Verteilung, Bedingte WS , ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:33 Di 28.05.2013
Autor: sissile

Du hast mich auf eine Idee gebracht:
(Vlt. dasselbe wie du geschrieben hast/ aber ich bin damit nicht ganz zurrecht gekommen)

1= [mm] \frac{1/(n+1)}{1/(n+1)}=\frac{P(X_1=n | X_1 + X_2 =n }{P(X_1=n-1|X_1 +X_2 =n)} [/mm] = [mm] \frac{P(X_1=n \cap X_2=0}{P(X_1=n-1 \cap X_2=1} [/mm] = [mm] \frac{P(X_1 =n) *P(X_2=0)}{P(X_1 =n+1) *P(X_2=1)} [/mm]
<=>
[mm] P(X_1= [/mm] n) [mm] =\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0} [/mm] * [mm] P(X_1=n-1)= (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0) [/mm]

Es muss ja: [mm] \sum_{n\ge0} P(X_1=n [/mm] )=1 sein
[mm] \sum_{n\ge0} P(X_1=n [/mm] )=1 = [mm] \sum_{n\ge0} (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0) [/mm]

Wenn ich ein /n! hätte dann würde ich auf Poisson verteilung kommen...

Bezug
                        
Bezug
Verteilung, Bedingte WS , ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Di 28.05.2013
Autor: tobit09


> Du hast mich auf eine Idee gebracht:
>  (Vlt. dasselbe wie du geschrieben hast/ aber ich bin damit
> nicht ganz zurrecht gekommen)
>  
> 1= [mm]\frac{1/(n+1)}{1/(n+1)}=\frac{P(X_1=n | X_1 + X_2 =n }{P(X_1=n-1|X_1 +X_2 =n)}[/mm]
> = [mm]\frac{P(X_1=n \cap X_2=0}{P(X_1=n-1 \cap X_2=1}[/mm] =
> [mm]\frac{P(X_1 =n) *P(X_2=0)}{P(X_1 =n+1) *P(X_2=1)}[/mm]
>  <=>
>  [mm]P(X_1=[/mm] n) [mm]=\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0}[/mm] * [mm]P(X_1=n-1)= (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)[/mm]
>  
> Es muss ja: [mm]\sum_{n\ge0} P(X_1=n[/mm] )=1 sein
>  [mm]\sum_{n\ge0} P(X_1=n[/mm] )=1 = [mm]\sum_{n\ge0} (\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=0})^n P(X_1=0)[/mm]

[ok] Auch dein Weg führt zum Ziel!

Setze [mm] $\lambda:=P(X=0)$ [/mm] und [mm] $\mu:=\frac{P(X=1)}{P(X=0)}$. [/mm]

Also

      [mm] $1=\sum_{n\ge0}\mu^n\lambda$. [/mm]

Nun das [mm] $\lambda$ [/mm] vor die Reihe ziehen und du hast eine geometrische Reihe. Für deren Grenzwert gibt es eine Formel...

Drücke dann [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\lambda$ [/mm] aus und du hast nach deinen Überlegungen mit

     [mm] $P(X=n)=\mu^n\lambda$ [/mm]

die Verteilung von $X$ (in Abhängigkeit von [mm] $\lambda=P(X=0)$). [/mm]

Bezug
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