VerteilfungsFkt eines Wahr.maß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 So 01.05.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
wir haben gerade erstangefangen mit Verteilungsfunktionen und ich komme damit nicht so ganz klar. Unzwar verstehe ich nicht wie man, wenn man ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben hat, die zugehörige Verteilungsfunktion konstruieren kann. Hätte da vielleicht jemand ein beispiel für mich, an dem er es mir erklären kann?
Ich habe da eine Aufgabe für die ich das wissen möchte:
Sei [mm] a_k [/mm] [mm] k=1... \infty [/mm] Folge positive Reeller Zahlen mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_k = 1[/mm]
und ich soll jetzt die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes
[mm] P = \summe_{i=0}^{\infty} a_k \delta_k [/mm] bestimmen, wobei [mm] \delta_k [/mm] das Dirak maß ist.
Ich weiß nach einem Satz ist die Verteilfungsfunktion F zu P:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k F_k [/mm]
wobei [mm] F_k [/mm] die Verteilungsfunktion zu [mm] \delta_k [/mm] ist.
aber wie sieht die Verteilungsfunktion von [mm] \delta_k [/mm] und dann die Summe dieser aus?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
Hilfreich wäre es erst einmal zu wissen, ob ihr die Verteilungsfunktion $F$ eines W-Maßes $P$ auf [mm] $(\IR,{\cal B}(\IR))$ [/mm] als
$F(x) = [mm] P(]-\infty,x])$
[/mm]
oder als
$F(x) = [mm] P(]-\infty,x[)$
[/mm]
definiert habt. Ich gehe jetzt mal von ersterem aus.
Dann gilt natürlich:
[mm] $F_k(x) [/mm] = [mm] \delta_k(]-\infty,x]) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & k \in ]-\infty,x] ,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array} \right. [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & k \le x,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array} \right.$
[/mm]
Daher gilt insgesamt:
$F(x) = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k F_k(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k 1_{]-\infty,x]}(k) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{[x]} \alpha_k$,
[/mm]
wobei ich mit $[x]$ die Gauß-Klammer von $x$ bezeichne.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 01.05.2005 | | Autor: | Toyo |
Hi Stefan, vielen Dank für deine schnelle Antwort,
ich hätte da noch 2 kleine Fragen zu deiner Antwort:
Ersteinmal haben wir die Verteilungsfunktion leider wie im 2ten Fall Definiert.
Dann müsste doch ganz am ende die Summe nicht bis [x] sondern bis
m := max [mm] \{ a \in \IN | a < x \} [/mm] sein oder ?
Und dann noch ein Frage, bei deiner Schlussfolgerung: Daher gilt insgesamt ... nach dem 2ten = hast du dich verschrieben oder was soll dies ausdrücken? Werd daraus leider nicht so ganz schlau.
Danke nochmal für deine Hilfe.
viele grüße Toyo
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Hallo Toyo!
> Ersteinmal haben wir die Verteilungsfunktion leider wie im
> 2ten Fall Definiert.
> Dann müsste doch ganz am ende die Summe nicht bis [x]
> sondern bis
> m := max [mm]\{ a \in \IN | a < x \}[/mm] sein oder ?
Ja, genau. Das kommt dann durch das rechts offene Intervall.
> Und dann noch ein Frage, bei deiner Schlussfolgerung: Daher
> gilt insgesamt ... nach dem 2ten = hast du dich
> verschrieben oder was soll dies ausdrücken? Werd daraus
> leider nicht so ganz schlau.
Hm, hier weiß ich leider nicht genau, wo das Problem liegt. Ist es vielleicht die Schreibweise für die Indikatorfunktion? Stefan hat ja nach dem zweiten Gleichheitszeichen lediglich eingesetzt, was er zwei Zeilen darüber "ausgerechnet" hat, nämlich, dass [mm] $F_k$ [/mm] genau dann 1 ist, falls [mm] $k\le [/mm] x$ und 0 sonst. Dies entspricht gerade der Indikatorfunktion auf dem Intervall [mm] $]-\infty,x]$. [/mm] Und dafür schreibt man üblicherweise diese 1 mit dem entsprechenden Intervall als Index.
Viele Grüße
Brigitte
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