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Für jede Folge [mm] (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} [/mm] stetiger Fkt. [mm] f_{n}:[0,1] \to [/mm] [0,1] die punktweise gegen 0 konvergieren, gilt [mm] \limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}f_n(x) [/mm] dx= 0
1) Zeige diese Aussage
2) Versuche diese Aussage ohne Verwendung von Sätzen aus der Maßtheorie zu zeigen ( also nur unter Zugrundelegung des Riemann Integralbegriffs)
Halo,
Also ich dachte für 1) genūgt mir doch die punktweise Konvergenz und eine Intbare. Majorante für den Satz von Lebesque um Integral und Grenzwert vertauschen zu können - die Punktweise konvergenz ist der Angabe zu entnehmen und als intbare Majorante könnte man zb die Konstante 1 Fkt nehmen ?
Für den zweiten Teil fehlt mir aber prinzipiell die Idee -dazu müsste ich irgendwie eine Zerlegungsfolge von [0,1] wählen, deren Feinheit nach 0 geht ?
Danke für jede Hilfe
Lg Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 30.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für jede Folge [mm](f_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] stetiger Fkt.
> [mm]f_{n}:[0,1] \to[/mm] [0,1] die punktweise gegen 0 konvergieren,
> gilt [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}f_n(x)[/mm] dx= 0
>
> 1) Zeige diese Aussage
> 2) Versuche diese Aussage ohne Verwendung von Sätzen aus
> der Maßtheorie zu zeigen ( also nur unter Zugrundelegung
> des Riemann Integralbegriffs)
>
> Halo,
>
> Also ich dachte für 1) genūgt mir doch die punktweise
> Konvergenz und eine Intbare. Majorante für den Satz von
> Lebesque um Integral und Grenzwert vertauschen zu können -
> die Punktweise konvergenz ist der Angabe zu entnehmen und
> als intbare Majorante könnte man zb die Konstante 1 Fkt
> nehmen ?
Ja, so ist das.
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> Für den zweiten Teil fehlt mir aber prinzipiell die Idee
> -dazu müsste ich irgendwie eine Zerlegungsfolge von [0,1]
> wählen, deren Feinheit nach 0 geht ?
Ja, wähle als Zerlegung die äquidistante [mm] Z_m [/mm] von [0,1] mit m+1 Teilpunkten.
FRED
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> Danke für jede Hilfe
>
> Lg Peter
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Hallo Fred,
Danke für deine Antwort.
Also durch die Beschränktheit der [mm] f_{n} [/mm] und die Stetigkeit weiß ich prinzipiell das Riemann-Integrierbarkeit vorliegt.
[mm] Z_{m} [/mm] sei also die äquidistante Zerlegung von [0,1] mit m+1 Stützstellen , aber welche Belegungsfolge wähle ich denn ?
Ich müsste ja irgendwie sowas basteln : F(m):= [mm] R(f_{m}, Z_{m}, B_{m}) [/mm] , wobei R für die Riemannsumme steht.
Aus der R intbarkeit der [mm] f_{m} [/mm] folgt dann sozusagen
[mm] \limes_{m \to \infty} [/mm] F(m) = [mm] \integral_{0}^{1} f_{m}(x)dx [/mm]
?
Lg Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 30.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch mal erst die Riemannsumme mit den m+1 Punkten hin.
f dann schätze die ab, dann lim
Gruß leduart
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> Hallo
> Schreib doch mal erst die Riemannsumme mit den m+1 Punkten
> hin.
> f dann schätze die ab, dann lim
> Gruß leduart
also gut
0 = [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] < ... < [mm] x_{m} [/mm] < [mm] x_{m+1} [/mm] = 1
[mm] \zeta_{i} \in [x_{i},x_{i+1}] [/mm] , i =1,...,m
[mm] R_{m} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{m}(x_{i+1}-x_{i})f(\zeta_{i})
[/mm]
das wäre dann die entsprechende Riemann-summe.
Aber wie soll ich die denn abschätzen?
also zb: [mm] [0,\frac{1}{n}],[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]....,[\frac{n-1}{n},1] [/mm]
das wäre eine äquidistante Zerlegung deren Feinheit gegen 0 strebt für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Lg Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 04.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Funktioniert dies überhaupt, wenn ich nur den R-Integralbegriff zur Hand habe?
Lg Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 04.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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